"Histoire de Phi Partie 5 : Géométrie d’or d’un espace-temps fractal infini E - La proportion d’or est au cœur de notre univers fractal de dimensions infinies qui ressemble à un espace à 4 dimensions." par Dr. Mae-Wan Ho

ISIAS Série Phi

Sciences des organismes vivants - Histoire de Phi Partie 5 : Géométrie d’or d’un espace-temps fractal infini E - La proportion d’or est au cœur de notre univers fractal de dimensions infinies qui ressemble à un espace à 4 dimensions.

Traduction revue le 20 novembre 2021 et compléments ajoutés en annexe [La théorie quantique d’après Larousse] ou entre parenthèses […] par Jacques Hallard, d’un Rapport de l’I-SIS en date du 31/03/2014 - Auteure : Dr. Mae-Wan Ho

Une version entièrement référencée et illustrée de cet article intitulé « Golden Geometry of E-Infinity Fractal Spacetime » avait été publié le 31/03/2014 et il est accessible sur le site http://www.i-sis.org.uk/Golden_Geometry_of_E_infinity_fractal_spacetime.php

Note du traducteur - L’auteure Dr. Mae-Wan HO précise que la notation utilisée dans les articles de cette série Phi est la suivante : phi (lettre minuscule) est 0.6i8..., tandis que Phi (lettre majuscule) est la réciproque égale à 1,618.

Les processus réels ne se produisent pas à des points précis dans un continuum d’espace-temps

Alfred North Whitehead (1861-1947) a vécu ce qui devait être une période plus excitante dans la science occidentale. Le tissu de la réalité - l’espace-temps absolu plat, lisse et statique de l’univers newtonien - fut soigneusement écorché, si ce n’est déchiré par les théories d’Albert Einstein de la relativité restreinte et générale à grande échelle et par la mécanique quantique à une plus petite échelle.

Le traditionnel observateur scientifique objectif et extérieur à la nature, disparaît pour être remplacé par les connaissances irréductiblement enchevêtrées au niveau quantique avec le connu antérieurement, voire avec toutes les entités de l’univers entier.

[D’après l’introduction d’un article de Wikipédia, « Alfred North Whitehead, né le 15 février 1861 à Ramsgate et mort le 30 décembre 1947 à Cambridge (Massachusetts), est un philosophe, logicien et mathématicien britannique. Il est le fondateur de l’école philosophique connue sous le nom de la philosophie du processus, un courant influent dans toute une série de disciplines : l’écologie, la théologie, l’éducation, la physique, la biologie, l’économie et la psychologie. Au début de sa carrière, Whitehead écrit principalement sur les mathématiques, la logique et la physique. Son premier grand ouvrage A Treatise of Universal Algebra (1898) porte sur l’algèbre qu’il se propose d’unifier tout comme David Hilbert l’a fait avec les géométries non euclidiennes. Son œuvre la plus remarquable dans ces domaines demeure les Principia Mathematica (1910-1913), en trois volumes, œuvre majeure écrite en collaboration avec son ancien étudiant Bertrand Russell. Les Principia Mathematica sont considérés comme l’une des œuvres les plus importantes du XXe siècle en logique mathématique. Durant la période allant de la fin des années 1910 au début des années 1920, Whitehead s’est progressivement tourné vers la philosophie des sciences et la métaphysique. Peu à peu il s’éloigne du logicisme et s’oriente vers la philosophie de la nature dans ses œuvres An Inquiry concerning the Principles of Natural Knowledge (1919) et The Concept of Nature (1920). Dans The Principles of Relativity (1922), il discute et critique la théorie einsteinienne de la relativité. Sa pensée, partie des mathématiques, s’oriente vers une métaphysique dans laquelle l’idée de « process », parfois traduite en français par « procès »n 1, tient une place prépondérante. Il a développé un système de métaphysique complet, radicalement nouveau dans la philosophie occidentale. Aujourd’hui, les travaux philosophiques de Whitehead — notamment Procès et réalité (Process and Reality, 1929) — sont considérés comme les textes fondateurs de la philosophie du process. Sa métaphysique est centrée sur les notions de préhensions (un mot qu’il crée pour indiquer qu’une perception consciente ou inconsciente incorpore certains aspects de la chose perçue) et de relations. Le fait qu’il ne cherche pas les conditions de possibilité d’une connaissance, mais comment rendre compte de l’expérience, constitue une différence forte entre les métaphysiques de Kant et de Whitehead. Par rapport à Aristote et à Leibniz, chez lui l’harmonie de l’ordre du monde n’est pas donnée une fois pour toutes, mais doit évoluer pour répondre aux changements du monde. Dans cette optique, la notion de créativité occupe une place clé. Concernant sa théologie, elle est centrée sur une double nature de Dieu : sa nature primordiale et sa nature conséquente. La première est immuable alors que la seconde en lien avec le monde est muable. L’ordre du monde est fondé sur des relations entre ces deux natures et le monde qui, d’une certaine façon, coopère avec Dieu. La philosophie duprocess de Whitehead insiste sur le fait qu’« il est urgent de voir le monde comme un réseau de processus interdépendants dont nous sommes partie intégrante, et que tous nos choix et nos actions ont des conséquences sur le monde qui nous entoure »2. Pour cette raison, l’une des applications les plus prometteuses de sa pensée au cours des années 2000 concerne l’écologie, notamment l’éthique de l’environnement de John B. Cobb, Jr…. » -

PS. Alfred Whitehead, aurait été influencé par Aristote, Platon, Locke, Spinoza, Leibniz, James, Frege, Bergson, et il aurait à son tour influencé Russell, Ruyer, Deleuze, Bruno Latour, Isabelle Stengers, John B. Cobb, Jr. Source de l’article complet : https://fr.wikipedia.org/wiki/Alfred_North_Whitehead ].

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Ces leçons surprenantes et enivrantes de la nature sont devenues la base de vives réflexions, de la philosophie universelle (une cosmogonie) de Whitehead [1], lançant une nouvelle ère de la notion d’organisme qui a inspiré des générations de scientifiques, y compris moi-même. Plus éclairante, et aussi moins bien comprise, était son argumentation sur la raison pour laquelle les lois de la mécanique de la physique classique et le calcul différentiel ne parviennent pas à décrire les processus réels.

En dehors du très important savoir d’expériences concernant les organismes vivants, on les laisse de côté, les processus vitaux réels qui ont des temps caractéristiques (des durées) et des espaces donnés (des volumes).

Rien, absolument rien ne se passe à un point donné dans un instant précis. En d’autres termes, l’espace-temps n’est pas un continuum lisse et continu ; il est au contraire discret et discontinu, ce que la physique quantique a déjà découvert à une plus petite échelle. En effet l’espace-temps peut plus facilement être conçu comme étant créé par l’action, par des activités, par des processus qui se produisent naturellement à travers des sauts quantiques.

[Selon Wikipédia « En physique, l’espace-temps est une représentation mathématique de l’espace et du temps comme deux notions inséparables et s’influençant l’une l’autre. En réalité, ce sont deux versions (vues sous un angle différent) d’une même entité. Cette conception de l’espace et du temps est l’un des grands bouleversements survenus au début du XXe siècle dans le domaine de la physique, mais aussi pour la philosophie. Elle est apparue avec la relativité restreinte et sa représentation géométrique qu’est l’espace de Minkowski ; son importance a été renforcée par la relativité générale… » - Article complet sur : https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace-temps ].

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Malheureusement, les mathématiques – qui constituent un outil majeur de la pensée de la science occidentale, et de la science physique en particulier - avaient un certain retard constitutif. La théorie de la relativité et la théorie quantique ont toutes deux hérité des mathématiques prédominantes en vigueur dans la mécanique classique.

Selon Wikipédia, « L’expression théorie de la relativité renvoie le plus souvent à deux théories complémentaires élaborées par Albert Einstein : la relativité restreinte (1905) et la relativité générale (1915)1. Ce terme peut aussi renvoyer à une idée plus ancienne, la relativité galiléenne, qui s’applique à la mécanique newtonienne. En 1905, le physicien allemand Max Planck utilise l’expression « théorie relative » (Relativtheorie), qui met l’accent sur l’usage du principe de relativité. Dans la partie discussion de cet article, le physicien allemand Alfred Bucherer utilise pour la première fois le terme « théorie de la relativité » (Relativitätstheorie)2,3. Les concepts mis en avant par la théorie de la relativité restreinte comprennent plusieurs aspects :

• l’espace-temps : l’espace et le temps doivent être perçus comme formant une seule entité ;
• la vitesse de la lumière dans le vide est invariable, quelles que soient la vitesse de l’observateur et celle de la source lumineuse. Les calculs montrent que dans ces conditions, elle est aussi la vitesse maximale de déplacement, qu’elle n’est atteinte que pour la lumière ou toute entité dépourvue de masse, et doit être considérée comme la vitesse maximale de déplacement de l’information ;
• les mesures de diverses quantités sont relatives à la vitesse de l’observateur. En particulier, le temps se dilate et l’espace se contracte.
  Les concepts mis en avant par la théorie de la relativité générale comprennent :

• l’espace-temps se courbe d’autant plus que la masse à proximité est grande ;
• la gravitation influence l’écoulement du temps.
  Lire l’article complet sur ce site : https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_de_la_relativit%C3%A9

La théorie de la relativité expliquée par l’Observatoire de Paris – Vidéo 5:46 - 4 mai 2017 - Nat Geo France

‘Genius’ est une série qui revient sur l’aventure semée d’embûches du physicien devenu une icône : Albert Einstein. Extrêmement indépendant, naturellement brillant, éternellement curieux, Einstein a changé la manière dont nous pensons l’univers. GENIUS est diffusée tous les lundis à 20h40 sur National Geographic à partir du 24 avril 2017. Plus d’infos : http://www.nationalgeographic.fr/vide...

Source : https://www.youtube.com/watch?v=M02c1zp0f0w

Pour la théorie quantique d’après Larousse > voir en annexe.

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La contribution monumentale du physicien théoricien britannique Alfred North Whitehead : « The Road to Reality, A Complete Guide to the Laws of The Universe » (La voie de la réalité, un guide complet des lois de l’univers) [2] est en effet un ’tour de force’, comme cela a été annoncé. Il retrace les efforts héroïques des physiciens mathématiques pour donner un sens après à la physique newtonienne, grâce à leur ingéniosité et à leurs succès.

Plus d’un siècle plus tard aujourd’hui, le rêve d’unir les deux grandes théories de la physique quantique et la relativité générale, est resté obstinément hors de notre portée. Et une raison principale en est que les deux théories sont divisées par une base commune : un espace-temps spatio-temporel qui est un collecteur différenciable.

L’espace-temps différentiable et le calcul différentiel assument que les objets sont à des ’endroits élémentaires simples’, ponctuels et instantanés dans l’espace et dans le temps. Ceci est fondamentalement en contradiction avec la réalité physique, et peut ainsi engendrer plus de problèmes qu’il ne peut en résoudre. Mais il y a encore une tendance à mettre les mathématiques (et la physique mathématique) sur un piédestal, comme si elles avaient une existence « objective » et indépendante à laquelle doit se conformer la réalité physique.

Ce point de vue néo-platonicien défendu par Roger Penrose [2] est certainement un cas de matérialisation déplacée. Cela fait plus de 80 ans, depuis que le mathématicien autrichien et logicien Kurt Gödel (1908-1978) a prouvé ses théorèmes d’incomplétude [3], qui n’étaient ​​essentiellement qu’un ensemble d’axiomes à la fois complets et cohérents, mais qui n’était toutefois pas en mesure de garantir une théorie complète et cohérente, et encore moins celle qui s’applique à la réalité physique.

[D’après Wikipédia, « Roger Penrose, né le 8 août 1931 à Colchester, en Grande Bretagne, est un mathématicien, cosmologiste et philosophe des sciences britannique. Il enseigne les mathématiques au Birkbeck College de Londres où il élabore la théorie décrivant l’effondrement des étoiles sur elles-mêmes, entre 1964 et 1973, et où il rencontre le célèbre physicien Stephen Hawking. Ils travaillent alors ensemble à une théorie de l’origine de l’univers, Penrose apportant sa contribution mathématique à la théorie de la relativité générale appliquée à la cosmologie et à l’étude des trous noirs. Il est actuellement professeur émérite à l’université d’Oxford. En 1974, il publie un article où il présente ses premiers pavages non périodiques : les pavages de Penrose. On lui doit quelques objets impossibles, tels le triangle de Penrose. Conjointement avec Andrea M. Ghez et Reinhard Genzel, il est lauréat du prix Nobel de physique 2020… » - Article complet sur : https://fr.wikipedia.org/wiki/Roger_Penrose ]

[D’après Wikipédia, « Kurt Gödel, né le 28 avril 1906 à Brünn et mort le 14 janvier 1978 à Princeton (New Jersey), est un logicien et mathématicien autrichien naturalisé américainn 1,2. Son résultat le plus connu, le théorème d’incomplétude de Gödel, affirme que n’importe quel système logique, suffisamment puissant pour décrire l’arithmétique des entiers, admet des propositions sur les nombres entiers ne pouvant être ni infirmées ni confirmées à partir des axiomes de la théorie. Ces propositions sont qualifiées d’indécidables. Gödel a également démontré la complétude du calcul des prédicats du premier ordre. Il a aussi démontré la cohérence relative de l’hypothèse du continu, montrant qu’elle ne peut pas être réfutée à partir des axiomes admis de la théorie des ensembles, en admettant que ces axiomes soient cohérents. Il est aussi à l’origine de la théorie des fonctions récursives. Il publia ses résultats les plus importants en 1931 à l’âge de 25 ans, alors qu’il travaillait encore pour l’université de Vienne (Autriche). Devenu privat-docent dans cette institution, il en fut chassé après l’Anschluss ; il émigra alors avec sa femme aux États-Unis. Atteint de troubles mentaux depuis plusieurs années, il parvient néanmoins à être naturalisé grâce au soutien de ses amis Oskar Morgenstern et Albert Einstein, et il put intègrer de façon permanente l’université de Princeton après la guerre. Toutefois, ses troubles se transformèrent en délire de persécution au milieu des années 1970 et accélèrent sa fin… » - Article complet sur : https://fr.wikipedia.org/wiki/Kurt_G%C3%B6del

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Néanmoins, les mathématiques sont un merveilleux outil, exquis pour aiguiser et soutenir la pensée, et j’ai appris à les apprécier de plus en plus, dans ma quête continue pour donner du sens à la vie, au vivant et au niveau de l’univers dans sa globalité (voir [4] The Rainbow and the Worm, The Physics of Organisms, ISIS publication).

Les mathématiques des espaces non-différentiables et discontinus, qui ont le potentiel de décrire la réalité physique plus authentiquement, sont parmi les plus importantes découvertes et inventions humaines à partir de la deuxième moitié du 19ème siècle, mais elles ne se sont pas vraiment épanouies jusque bien après le 20ème siècle.

Je vais décrire une théorie intuitive et ingénieuse de l’espace-temps qui fait pleinement usage des mathématiques nouvelles ou modernes. Avant de continuer, veuillez s’il vous plaît lire l’encadré 1 ci-après, qui peut servir de guide rapide pour les termes mathématiques que vous allez rencontrer en grand nombre dans le reste de cet article ; et vous pourrez aussi y revenir aussi souvent que nécessaire.

[D’après Wikipédia, « Les « mathématiques modernes » (souvent appelées familièrement les « maths modernes ») étaient une façon d’enseigner les mathématiques dans les pays occidentaux durant les années 1960 et 1970. Elles visaient d’une part à améliorer le niveau scientifique général de la population via un enseignement plus abstrait dès l’école primaire et, d’autre part, à dépoussiérer l’enseignement classique des mathématiques à l’école. Ce dernier, très empreint de géométrie, d’arithmétique et de trigonométrie, avait en effet tardé à incorporer les mutations des mathématiques durant la première moitié du XXe siècle. La radicalité de cette réforme, son élitisme, son introduction trop rapide et son lancement dans une période de grands changements de société et de massification de l’enseignement, ont mené à son rejet par de nombreux instituteurs, professeurs[réf. nécessaire] et parents d’élèves. L’enseignement actuel des mathématiques a été façonné en partie par les réponses apportées aux critiques formulées à l’encontre des mathématiques modernes… » - Source e l’article complet : https://fr.wikipedia.org/wiki/Math%C3%A9matiques_modernes ].

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Encadré 1 Un guide rapide des termes mathématiques pour les non-mathématiciens La théorie des ensembles La branche de la logique mathématique sur les collections d’objets mathématiques. L’étude moderne de la théorie des ensembles a été lancée par les mathématiciens allemands Georg Cantor (1845-1918) et Richard Dedekind (1831-1916) dans les années 1870. [D’après Wikipédia, « Georg Cantor est un mathématicien allemand, né le 3 mars 1845 à Saint-Pétersbourg (Empire russe) et mort le 6 janvier 1918 à Halle (Empire allemand). Il est connu pour être le créateur de la théorie des ensembles. Il établit l’importance de la bijection entre les ensembles, définit les ensembles infinis et les ensembles bien ordonnés. Il prouva également que les nombres réels sont « plus nombreux » que les entiers naturels. En fait, le théorème de Cantor implique l’existence d’une « infinité d’infinis ». Il définit les nombres cardinaux, les nombres ordinaux et leur arithmétique. Le travail de Cantor est d’un grand intérêt philosophique (ce dont il était parfaitement conscient) et a donné lieu à maintes interprétations et à maints débats. Cantor a été confronté à la résistance de la part des mathématiciens de son époque, en particulier Kronecker. Poincaré, bien qu’il connût et appréciât les travaux de Cantor, avait de profondes réserves sur son maniement de l’infini en tant que totalité achevéen 1. Les accès de dépressions récurrents de Cantor, de 1884 à la fin de sa vie, ont été parfois attribués à l’attitude hostile de certains de ses contemporains, mais ces accès sont souvent à présent interprétés comme des manifestations d’un probable trouble bipolaire. Au XXIe siècle, la valeur des travaux de Cantor n’est pas discutée par la majorité des mathématiciens qui y voient un changement de paradigme, à l’exception d’une partie du courant constructiviste qui s’inscrit à la suite de Kronecker. Dans le but de contrer les détracteurs de Cantor, David Hilbert a affirmé : « Nul ne doit nous exclure du Paradis que Cantor a créé2… » - Source de l’article complet : https://fr.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor ].[D’après Wikipédia, « Julius Wilhelm Richard Dedekind (né le 6 octobre 1831 à Brunswick et mort le 12 février 1916 dans la même ville) est un mathématicien allemand et un proche disciple de Ernst Kummer en arithmétique. Pionnier de l’axiomatisation de l’arithmétique, il a proposé une définition axiomatique de l’ensemble des nombres entiers ainsi qu’une construction rigoureuse des nombres réels à partir des nombres rationnels (méthode des « coupures » de Dedekind)… - Source de l’article complet : https://fr.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekind ]Ensembles fermés et ouverts Un ensemble fermé contient sa propre limite ; son complément est un ensemble ouvert qui ne contient pas sa frontière. L’ensemble Borel Un ensemble Borel est tout ensemble dans un espace topologique qui peut être formé à partir d’ensembles ouverts (ou de manière équivalente à partir d’ensembles fermés) à travers les opérations de réunion dénombrable, intersection dénombrable et complément relatif. Un ensemble dénombrable est un ensemble avec le même nombre d’éléments que certains sous-ensembles de l’ensemble des nombres naturels. Les éléments d’un ensemble dénombrable peuvent être comptés un à la fois, et bien que le comptage ne puisse jamais finir, chaque élément de l’ensemble sera éventuellement associé à un nombre naturel. Une Union, notée ⋃ d’une collection d’ensembles est l’ensemble de tous les éléments distincts dans la collection. Une Intersection d’ensembles, désignée par ⋂, est l’ensemble qui ne contient que des éléments appartenant à tous les ensembles. Le complément relatif de l’ensemble A dans B est l’ensemble des éléments en B, mais pas dans A. Bijection Une bijection est une application à la fois un-à-un (une injection) et sur une surjection ; c’est une fonction qui concerne chaque membre d’un ensemble S (le domaine) à un membre séparé et distinct d’un autre ensemble T (la gamme ou l’étendue), où chaque membre de T a également un membre correspondant dans S. Un ensemble de Cantor … L’ensemble triadique de Cantor classique (nommé d’après l’inventeur Georg Cantor) est obtenu en divisant la ligne d’unité en trois parties égales, en écartant la partie médiane, sauf pour ses points d’extrémité, et en répétant l’opération avec les deux autres parties à l’infini. Dans la version aléatoire, il pourrait être l’une des trois parties qui est rejetée de manière aléatoire après chaque division. [Selon Wikipédia, « en mathématiques, l’ensemble de Cantor (ou ensemble triadique de Cantor, ou poussière de Cantor), est un sous-ensemble remarquable de la droite réelle construit par le mathématicien allemand Georg Cantor1. Il s’agit d’un sous-ensemble fermé de l’intervalle unité [0, 1], d’intérieur vide. Il sert d’exemple pour montrer qu’il existe des ensembles infinis non dénombrables mais négligeables au sens de la mesure de Lebesgue. C’est aussi le premier exemple de fractale (bien que le terme ne soit apparu qu’un siècle plus tard), et il possède une dimension non entière. Il admet enfin une interprétation sous l’angle du développement des réels en base 3. Pour cette raison, il est souvent noté K3. On le construit de manière itérative à partir du segment [0, 1] en enlevant le tiers central ; puis on réitère l’opération sur les deux segments restants, et ainsi de suite. On peut voir les six premières itérations du procédé sur le schéma suivant : https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/56/Cantor_set_in_seven_iterations.svg/660px-Cantor_set_in_seven_iterations.svg.pngSix premières itérations de la construction de l’ensemble de Cantor.Article complet sur ce site : https://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_de_Cantor ]. Voir aussi les ensembles de Cantor à partir d’ici : https://www.math.univ-toulouse.fr/ cheritat/Feig/p5.htmlUn Espace Un espace est un ensemble avec une certaine structure ajoutée. Espace métrique Un espace métrique est un ensemble où une notion de distance (une métrique) entre éléments de l’ensemble est définie. L’espace métrique qui correspond le mieux à notre compréhension intuitive de l’espace est l’espace euclidien plat trois dimensions. [D’après Wikipédia, « En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l’ensemble est définie. Les éléments seront, en général, appelés des points1. Tout espace métrique est canoniquement muni d’une topologie. Les espaces métrisables sont les espaces topologiques obtenus de cette manière… L’exemple correspondant le plus à notre expérience intuitive de l’espace est l’espace euclidien à trois dimensions. La métrique euclidienne de cet espace définit la distance entre deux points comme la longueur du segment les reliant. La classe d’isométrie d’un espace métrique (c’est-à-dire l’ensemble de tous les espaces de même structure métrique) est beaucoup plus petite que sa classe d’homéomorphie. Par exemple, un carré, un triangle, un cercle et n’importe quelle courbe de Jordan sont homéomorphes, par contre ils ne sont pas isométriques. Ainsi une structure métrique code beaucoup plus d’information sur la forme géométrique des objets qu’une simple structure topologique ; ce qui n’a rien de surprenant, car la notion de distance entre deux points est centrale pour la géométrie usuelle… » - Article complet sur ce site : https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_m%C3%A9trique ]Espace de Riemann Un espace topologique avec des propriétés métriques qui peut être défini en continu de point à point (donc aussi appelé une variété riemannienne), y compris les espaces non-euclidiennes standards, c’est-à-dire des espaces qui ne sont pas aplati. [D’après Wikipédia, « Géométrie riemannienne - L’étude de la forme de l’univers est une adaptation des idées et des méthodes de la géométrie riemannienne La géométrie riemannienne est une branche de la géométrie différentielle nommée en l’honneur du mathématicien Bernhard Riemann, qui introduisit les concepts fondateurs de variété géométrique et de courbure. Il s’agit de surfaces ou d’objets de plus grande dimension sur lesquels existent des notions d’angle et de longueur, généralisant la géométrie traditionnelle qui se limitait à l’Espace euclidien. La géométrie riemannienne étend les méthodes de la géométrie analytique en utilisant des coordonnées locales pour effectuer les calculs dans des domaines spatiaux limités, mais elle recourt fréquemment aux outils de la topologie pour passer à l’échelle de l’espace entier. De façon précise, la géométrie riemannienne a pour but l’étude locale et globale des variétés riemanniennes, c’est-à-dire les variétés différentielles munies d’une métrique riemannienne, voire des fibrés vectoriels riemanniens. Les concepts les plus notables de la géométrie riemannienne sont la courbure de l’espace étudié et les géodésiques, courbes résolvant un problème de plus court chemin sur cet espace. Il existe aussi des variétés pseudo-riemanniennes, généralisant les variétés riemanniennes, qui en restent assez proches par bien des aspects, et qui permettent notamment de modéliser l’espace-temps en physique… » - Lire l’article complet sur ce site : https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie_riemannienne ]. Espace topologique Un espace topologique est un ensemble de points et un ensemble de quartiers pour chaque point qui satisfont un ensemble d’axiomes relatifs à des points et des quartiers. La définition d’un espace topologique ne repose que sur la théorie des ensembles et c’est la notion la plus générale d’un espace mathématique. [Selon Wikipédia, « La topologie générale est une branche des mathématiques qui fournit un vocabulaire et un cadre général pour traiter des notions de limite, de continuité, et de voisinage. Les espaces topologiques forment le socle conceptuel permettant de définir ces notions. Elles sont suffisamment générales pour s’appliquer à un grand nombre de situations différentes : ensembles finis, ensembles discrets, espaces de la géométrie euclidienne, espaces numériques à n dimensions, espaces fonctionnels plus complexes, mais aussi en géométrie algébrique. Ces concepts apparaissent dans presque toutes les branches des mathématiques ; ils sont donc centraux dans la vision moderne des mathématiques. La topologie générale ne tente pas d’élucider la question très complexe de la « composition du continu » : elle part d’une approche axiomatique, en utilisant le vocabulaire de la théorie des ensembles ; autrement dit, elle suit une approche fondée sur la notion de structure (en l’occurrence, ici, une structure topologique), en faisant usage d’une axiomatique ensembliste. Les axiomes sont minimaux, et en ce sens, c’est la structure la plus générale pour étudier les concepts cités. La topologie générale définit le vocabulaire fondamental, mais permet aussi la démonstration de résultats non triviaux et puissants, tels que le théorème de Baire. Elle possède deux prolongements importants, permettant une analyse plus approfondie encore de la notion générale de « forme » : la topologie différentielle, généralisant les outils de l’analyse classique (dérivée, champs de vecteurs, etc.) et la topologie algébrique, introduisant des invariants calculables tels que les groupes d’homologie. Cet article est technique ; une vision générale et historique est ébauchée dans l’article « Topologie … » - Lire l’article complet sur ce site : https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_topologique ].Dimension topologique Une dimension topologique est la dimension d’un espace topologique. Par exemple, un point est de dimension topologique 0 tandis qu’une ligne est de dimension topologique de 1, la fermeture jusqu’à la ligne dans un cercle ne fait aucune différence ; elle a encore une dimension topologique de 1. De même, une feuille plane a une dimension topologique de deux, de même pour la surface d’un cylindre, une sphère ou d’un beignet. Dimension de Menger-Urysohn La dimension de Menger-Urysohn est une dimension topologique généralisée des espaces topologiques, déduite par induction mathématique. Elle est basée sur l’observation dans un espace euclidien de dimension n, - Rn, - de (n -1) sphères (ce sont les limites de sphères de dimension n) ont une dimension n -1. Par conséquent, il devrait être possible de définir la dimension d’un espace de manière inductive au niveau des dimensions des limites des ensembles ouverts appropriés. Selon Wikipédia, « In the mathematical field of topology, the inductive dimension of a topological space X is either of two values, the small inductive dimension ind(X) or the large inductive dimension Ind(X). These are based on the observation that, in n-dimensional Euclidean space Rn, (n − 1)-dimensional spheres (that is, the boundaries of n-dimensional balls) have dimension n − 1. Therefore it should be possible to define the dimension of a space inductively in terms of the dimensions of the boundaries of suitable open sets. The small and large inductive dimensions are two of the three most usual ways of capturing the notion of ’dimension’ for a topological space, in a way that depends only on the topology (and not, say, on the properties of a metric space). The other is the Lebesgue covering dimension. The term ’topological dimension’ is ordinarily understood to refer to Lebesgue covering dimension. For ’sufficiently nice’ spaces, the three measures of dimension are equal… - Article complet en anglais sur ce site : https://en.wikipedia.org/wiki/Inductive_dimension ].Dimension de Hausdorff La dimension de Hausdorff généralise la notion de dimension à des ensembles irréguliers tels que les fractales. Par exemple, un ensemble de Cantor a une dimension de Hausdorff de LN2 / LN3, le rapport entre le logarithme en base 2 des parties restantes de l’ensemble après chaque itération. [D’après Wikipédia, « En mathématiques, et plus précisément en topologie, la dimension de Hausdorff d’un espace métrique (X,d) est un nombre réel positif ou nul, éventuellement infini. Introduite en 1918 par le mathématicien Felix Hausdorff, elle a été développée par Abram Besicovitch, c’est pourquoi elle est parfois appelée dimension de Hausdorff-Besicovitch. L’exemple le plus simple est l’espace euclidien de dimension (au sens des espaces vectoriels) égale à n (ou plus généralement un espace vectoriel réel de dimensionn muni d’une distance associée à une norme) : sa dimension de Hausdorff d est aussi égale à n, dimension de l’espace vectoriel. Cependant la dimension de Hausdorff d’un espace métrique quelconque peut ne pas être un entier naturel… - Source de l’article complet : https://fr.wikipedia.org/wiki/Dimension_de_Hausdorff ].Fractale Une fractale est un ensemble mathématique qui affiche généralement des modèles auto-similaires, et qui a des dimensions fractionnaires, au lieu de l’entier habituel 1, 2, 3, ou 4. Des exemples géométriques sont les ramifications des arbres, les vaisseaux sanguins, des feuilles de fougères, etc… [D’après Wikipédia, « Une figure fractale est un objet mathématique qui présente une structure similaire à toutes les échelles. C’est un objet géométrique « infiniment morcelé » dont des détails sont observables à une échelle arbitrairement choisie. En zoomant sur une partie de la figure, il est possible de retrouver toute la figure ; on dit alors qu’elle est « auto similaire »1. Bien qu’un certain nombre de choses était déjà connu auparavant, on attribue la découverte des fractales à Benoît Mandelbrot1. L’adjectif « fractal », à partir duquel l’usage a imposé le substantif une fractale pour désigner une figure ou une équation de géométrie fractale, est un néologisme créé par Mandelbrot en 19752 à partir de la racine latine fractus, qui signifie « brisé », « irrégulier », et de la désinence « -al » présente dans les adjectifs « naval » et « banal » (pluriels : navals, banals, fractals). Les fractales sont définies de manière paradoxale, à l’image des poupées russes qui renferment une figurine identique à l’échelle près : les objets fractals peuvent être envisagés comme des structures gigognes en tout point – et pas seulement en un certain nombre de points, les attracteurs de la structure gigogne classique. Cette conception hologigogne (gigogne en tout point) des fractales implique cette définition récursive : un objet fractal est un objet dont chaque élément est aussi un objet fractal (similaire)3. De nombreux phénomènes naturels – comme le tracé des lignes de côtes ou l’aspect du chou romanesco – possèdent des formes fractales approximatives… » Exemple de figure fractale (détail de l’ensemble de Mandelbrot).Exemple de figure fractale (détail de l’ensemble de Mandelbrot) https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a8/Julia_%28Fractal%29.png/220px-Julia_%28Fractal%29.pngEnsemble de Julia en 0.3 + 0.5 i \displaystyle 0.3+0.5i 0,3 + 0,5 i - En dynamique holomorphe, l’ensemble de Julia et l’ensemble de Fatou sont deux ensembles complémentaires l’un de l’autre, définis à partir du comportement d’une fonction (ou d’une application) holomorphe par composition itérée avec elle-même.Article complet sur ce site : https://fr.wikipedia.org/wiki/Fractale ].La théorie du chaos L’étude des systèmes dynamiques avec un comportement localement imprévisible qui est très sensible aux conditions initiales, mais qui sont néanmoins déterminés à l’échelle mondiale, tels que les trajectoires sont confinées dans une région de l’espace de phase appelée « attracteurs étranges ». [On peut aussi se reporter « l’Effet Papillon et la Théorie du Chaos - Vidéo 24:17 par ici > https://isias.lautre.net/spip.php?article1204&lang=fr#DAZUCHAOS ].Transfinite Un terme inventé par Cantor ; cela veut dire au-delà du fini, mais pas nécessairement l’infini absolu.

L’espace-temps fractal infini E qui ressemble aux 4 dimensions et son rapproche

L’idée que l’espace-temps est fractal à son origine avec le mathématicien canadien Garnet Ord [4] qui a inventé le terme « espace-temps fractal », en utilisant un modèle dans lequel les particules sont confinées pour se déplacer sur des trajectoires fractales.

Indépendamment, l’astrophysicien français Laurent Nottale a proposé une théorie de la relativité d’échelle espace-temps fractal [5].

[Article de Wikipédia sur Laurent Nottale

Image dans Infobox.

Laurent Nottale en 2009.

Fonction
Directeur de recherche au CNRS

Biographie			{{}}
Naissance		1952 Paris
Nationalité		Française
Domicile	France
Formation	Université Pierre-et-Marie-Curie École centrale Paris
Activités	Astrophysicien, physicien théoricien

{{}}
Il a travaillé pour le	Centre national de la recherche scientifique, École centrale Paris

Laurent Nottale, né en 1952 à Paris est un astrophysicien français, directeur de recherche au CNRS et chercheur à l’observatoire de Paris-Meudon.

Carrière et travaux

Après sa formation à l’École Centrale (Paris, promotion 1975), le 9 juin 1980, Laurent Nottale obtient le titre de docteur ès-sciences, à l’issue d’une thèse portant sur les lentilles gravitationnelles par amas de galaxies. En octobre, il entre au CNRS. Il enseigne l’astrophysique à l’École centrale des arts et manufactures à partir de 19851.

Il est auteur de la théorie de la relativité d’échelle visant à unifier la physique quantique et la relativité d’Einstein en introduisant explicitement l’échelle d’observation dans les équations physiques, de même qu’Einstein y a introduit explicitement des paramètres liés à la vitesse du référentiel d’observation. Il suppose que devraient s’appliquer ainsi des résultats similaires à ceux de la relativité restreinte avec la vitesse :

• il existe une échelle d’observation inatteignable (la longueur de Planck), de même qu’il existe une vitesse inatteignable (la vitesse de la lumière : 299 792 458 m/s dans le vide) ;
• la composée de deux changements d’échelle est inférieure au produit de ces échelles (de même que la composée de deux vitesses est inférieure à la somme de ces 2 vitesses).
  La théorie d’échelle qu’il a développée est décrite comme une extension de la relativité d’Einstein2, fondée sur le même principe heuristique et la même démarche. Son idée a ensuite été de supposer l’existence de trajectoires qui variaient suivant le changement d’échelle, et qui n’étaient donc pas rectifiables, c’est-à-dire des trajectoires fractales3. Les mouvements apparemment désordonnés des particules à l’échelle quantique se ramènent donc à des mouvements suivant des géodésiques fractales. Sa théorie permet de redémontrer des résultats importants de la physique. Notamment, il semble avoir redémontré l’équation de Schrödinger à une dimension (résultat connu de physique statistique mais de signification différente de celle qu’elle a réellement en physique quantique). Par contre, un certain nombre d’autres affirmations de re-démonstrations n’ont pas encore pu être prouvées. La théorie de relativité d’échelle est en contradiction avec le paradoxe EPR[réf. nécessaire] et l’expérience d’Elitzur-Vaidman[réf. nécessaire] (obtention d’information sur système quantique sans interaction avec lui).

Laurent Nottale estime que la principale propriété de l’être humain est de montrer une véritable cohérence entre son corps et son esprit uniquement à son échelle, c’est-à-dire sur à peu près deux mètres4. Il pose l’hypothèse que l’espace-temps varie selon le zoom ; alors que celui considéré par Galilée ou Einstein garde sa structure lisse quelle que soit l’échelle, Nottale dévoile de nouvelles rugosités à chaque changement de résolution. Cette hypothèse bouscule tous les outils classiques chers aux physiciens, tels que la notion de dérivée qui suppose des courbes lisses sur des longueurs infiniment petites. La grandeur physique dépend maintenant de l’échelle à laquelle on la mesure, ce qui complique les calculs même si cela colle mieux à la façon dont on mesure5.

L’originalité du travail de Nottale est l’invocation du concept de fractale qui est encore peu utilisé et dominé par le milieu scientifique, pouvant recouvrir en fait de multiples significations mathématiques suivant les contextes. À partir de tels concepts, il affirme avoir posé les bases d’une nouvelle physique aux caractéristiques différentes de ce qui est habituellement considéré comme admissible en physique au regard des connaissances actuelles. Mais sa théorie n’est pas actuellement vérifiée et elle est parfois critiquée par la communauté scientifique6.

L’épreuve de la ’validation par les pairs’

Une double bifurcation

Le parcours de Laurent Nottale a fait l’objet d’une étude sous l’angle du fait sociétal7. Entre autres lauréat de l’Académie des sciences (1987) pour son travail sur les effets des lentilles gravitationnelles et professeur d’astrophysique durant 15 ans à Ecole Centrale de Paris8 , Laurent Nottale apparait comme l’archétype du scientifique reconnu en début de parcours, puis prenant le risque personnel de compromettre sa carrière par ses choix de recherche vers une théorie transdisciplinaire de rupture complète : ayant acquis un fort ’capital scientifique’ dans son domaine d’origine (l’astrophysique) il décide en effet de bifurquer (à partir de 1984) vers l’élaboration de la théorie de la Relativité d’échelle (TRE en Français, SR en Anglais)9, qui ne se greffait sur aucuns champs de recherche antérieurs (bénéficiant donc de peu de soutiens), et posait indirectement la question d’enjeux scientifiques ’établis’ atteints par une théorie nouvelle.

Puis, deuxième prise de risque, il étend (1999) sa théorie à d’autres disciplines 10, (biologie 11, sciences de la terre12, physique théorique13, etc…), et achève ainsi de monter contre sa démarche les tenants d’une astrophysique ’stabilisée et sanctionnée’. Mais certains secteurs y restent plus ouverts (entre autres en physique théorique14 ou en systémique15).

Les modalités de l’évaluation scientifique en question

À la suite de la bifurcation vers la TRE, les articles de Nottale ont été évincés de la plupart des revues scientifiques à forte visibilité16 du fait de l’’évaluation par les pairs’. La TRE n’a donc pu être exposée que dans des revues transdisciplinaires moins sélectives et sous la forme d’ouvrages (y compris de vulgarisation, démarche considérée comme dévalorisante17). Elle n’aurait donc pas fait l’objet de réfutations sur la base d’une argumentation scientifique : la théorie a simplement été occultée par une part importante de la communauté scientifique.

Nottale réplique en 2005, dans un article critique18 qui reprend, en les axant sur l’évaluation éditoriales, les orientations données par le CNRS (concernant plutôt l’évaluation de programmes ou de personnes)19. Il a par ailleurs été observé que les ’referees’ ne possédaient pas nécessairement les connaissances mathématiques sophistiquées relatives aux fractales

Mais, selon l’étude sociétale, au-delà des enjeux (matériels entre autres), l’ambition de la TRE de proposer un modèle inédit de lois applicables aussi bien à la microphysique qu’à la cosmologie pouvait (légitimement ?) heurter le monde de la recherche ’établie’20.

Statut actuel

La TRE fait (depuis 2019) l’objet de nouvelles études, entre autres dans le champ de l’astrophysique21 - Nottale a publié un nouvel ouvrage en 2019, aux Etats-Unis22. A noter le soutien appuyé de Charles Alunni, directeur durant 25 ans du laboratoire ’Pensée des sciences’ à l’ENS-Ulm, qui a postfacé cet ouvrage.

Ouvrages

• Fractal Space-Time and Micro-physics, éditions World Scientific, mai 1993
• L’univers et la lumière, Cosmologie classique et mirages gravitationnels, éditions Flammarion, août 1993
• La Relativité dans tous ses états : du mouvements aux changements d’échelle, éditions Hachette, 1998
• Les arbres de l’évolution, Laurent Nottale, Jean Chaline et Pierre Grou, éditions Hachette, mars 2000
• Des fleurs pour Schrödinger : la relativité d’échelle et ses applications, Laurent Nottale, Jean Chaline et Pierre Grou, éditions Ellipses, 2009
• Scale Relativity and Fractal Space-Time : A New Approach to Unifying Relativity and Quantum Mechanics, Imperial College Press, août 2011
• The Relativity of All Things : Beyond Spacetime, Persistent Press, mars 2019
  L’article complet avec notes et références est disponible sur ce site : https://fr.wikipedia.org/wiki/Laurent_Nottale ].

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Comme Ord nous le rappelle [4], le physicien quantique américain Richard Feynman (1918-1988) avait déjà signalé [6] que les trajectoires des particules quantiques ressemblent plus à des courbes non-différentiables que des lignes droites, quand on l’examine à une échelle fine.

[Richard Phillips Feynman (1918-1988) est un physicien américain, l’un des plus influents de la seconde moitié du XXe siècle, en raison notamment de ses travaux sur l’électrodynamique quantique, les quarks et l’hélium superfluide. Il reformula entièrement la mécanique quantique à l’aide de son intégrale de chemin, qui généralise le principe de moindre action de la mécanique classique, et inventa les diagrammes qui portent son nom et qui sont désormais largement utilisés en théorie quantique des champs (dont l’électrodynamique quantique fait partie). Pendant la Seconde Guerre mondiale, il fut impliqué dans le développement de la bombe atomique américaine. Après la Seconde Guerre mondiale, il enseigna à l’université Cornell puis au Caltech où il effectua des travaux fondamentaux notamment dans la théorie de la superfluidité et des quarks. Sin-Itiro Tomonaga, Julian Schwinger et lui sont colauréats du prix Nobel de physique de 1965 pour leurs travaux en électrodynamique quantique1. Vers la fin de sa vie, son action au sein de la commission d’enquête sur l’accident de la navette spatiale Challenger l’a fait connaître du grand public américain. Pédagogue remarquable et drôle, il est le rédacteur de nombreux ouvrages de vulgarisation reconnus. Parmi ces livres, les Feynman lectures on physics, un cours de physique de niveau universitaire qui, depuis sa parution, est devenu un classique pour tous les étudiants de premier cycle en physique et leurs professeurs. Il raconte aussi ses nombreuses aventures dans plusieurs ouvrages : Surely You’re Joking, Mr. Feynman ! (paru en français sous le titre Vous voulez rire, monsieur Feynman !) et What Do You Care What Other People Think ?... – Article complet sur ce site : https://fr.wikipedia.org/wiki/Richard_Feynman ].

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Cependant, c’est Mohamed El Naschie, d’origine égyptienne, qui nous a appris plus loin vers une théorie cohérente de la réalité physique, et qui est aussi plus proche de notre notion intuitive de l’espace-temps biologique. Pour exactement les mêmes raisons, peut-être, Mohamed El Naschie a attiré à la fois une admiration et de l’antagonisme, dans une égale mesure.

[Mohamed El Naschie - From Wikipedia, the free encyclopedia

Mohamed El Naschie (Arabic : محمد النشائي‎), born in 1943,[1] is an Egyptian engineer and the former editor of a controversial journal, Chaos, Solitons & Fractals. The controversy concerned El Naschie’s publication, over many years, of over 300 papers of questioned scientific merit authored by himself in his own journal with little or no apparent peer review. Published reports of his eventual departure from the editorship of the journal led to a lengthy libel court case that raised questions about the libel laws in Great Britain. The controversy has also played a role in discussions of the ’impact factor’ as a quality measure for scientific journals, and of the methodology of university rankings.

Mohamed El Naschie (arabe : محمد النشائي), né en 1943, [1] est un ingénieur égyptien et l’ancien rédacteur en chef d’une revue controversée, ‘Chaos, Solitons & Fractals’. La controverse concernait la publication par El Naschie, pendant de nombreuses années, de plus de 300 articles de valeur scientifique douteuse dont il était l’auteur dans sa propre revue, avec peu ou pas d’examen par les pairs. Les rapports publiés sur son départ éventuel de la rédaction de la revue ont donné lieu à un long procès en diffamation qui a soulevé des questions sur les lois relatives à la diffamation en Grande-Bretagne. La controverse a également joué un rôle dans les discussions sur le ’facteur d’impact’ en tant que mesure de la qualité des revues scientifiques, et sur la méthodologie des classements universitaires…. » - Article complet en anglais à lire sur ce site : https://en.wikipedia.org/wiki/Mohamed_El_Naschie ].

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En aparté, la revue ‘Nature’ a lancé une campagne de diffamation contre El Naschie en 2008 avec un article écrit par son correspondant allemand [7] qui a été rempli avec des insinuations et allusions, si ce ne est des mensonges. Il accuse El Naschie de documents en ’auto-édition’ de ’mauvaise qualité’, sans examen par les pairs approprié dans un journal de physique théorique dont il a été rédacteur en chef. En fait, El Naschie a eu des centaines d’articles publiés dans d’autres revues ; et sa production prolifique s’est poursuivie tout au long de la période ultérieure de quatre ans au cours de laquelle il a apporté une affaire de diffamation à lui seul contre la revue ‘Nature’. El Naschie a refusé toutes les tentatives de ’Nature’ pour régler cela hors d’une cour, jusqu’à ce que le tribunal ait statué contre lui en 2012. À cette époque, ‘Nature » avait dépassé £ 5.000.000 en frais juridiques pour se défendre. Compte tenu de bilan honteux de ‘Nature’ selon en moi et d’autres scientifiques diffamés sur les dangers de la modification génétique [pour faire des OGM], je suis devenue d’autant plus déterminée à retrouver le travail de El Naschie et en ayant subi un récompensé en conséquence.

El Naschie, formé et pratiquant son métier comme ingénieur, tout en se livrant à son passe-temps sur la cosmologie, a produit une nouvelle théorie étonnante de l’espace-temps, qui a ensuite rapidement repris sa vie entièrement. ‘L’infini E ‘ (E –infinity), comme il l’appelle, est un espace-temps fractal avec des dimensions infinies. Pourtant, sa dimension fractale est 4,236067977 ... En d’autres termes, à une résolution ordinaire, cela ressemble et suggère quatre dimensions (trois relatifs à l’espace et une qui concerne le temps), avec le reste de la dimension « compactée » dans le résidu est 0,236067977 ... une « queue floue’ [8].

Pensez à un hypercube en quatre dimensions avec quatre autres dimensions hypercubes imbriquées dans comme des poupées russes [9]. En fait, la dimension de Hausdorff est exacte 4 + f3, où f3 = (√5-1) / 2, Particulièrement suggestif est le fait que la dimension 4 + f3 montrent la fraction suivante continue auto-similaire (voir la figure 1) qui résume précisément l’infini 4 + f3 :

Golden_Geometry_of_E_infinity_fractal_spacetime1

The 4-dimensional hypercube is the Euclidean representation of the E-infinity universe. It is a challenge to represent E-infinity it in its proper non-Euclidean form.

L’hypercube à 4 dimensions est la représentation euclidienne de l’univers E-infini. C’est un défi de tenter de représenter ‘E –infinity’ dans sa forme non-euclidienne !

Figure 1 – L’espace-temps fractal infini est représenté comme quatre hypercubes aux dimensions imbriquées

L’univers ‘E –infinity’ est mathématiquement un ensemble de Cantor aléatoire (la plus simple fractale) étendu aux dimensions infinies, et le résultat remarquable dès que la limite de cette extension infinie n’est pas supérieure à 4 + f3.

La figure 2 illustre quelques-unes des étapes pour dériver l’univers ‘E infinity’. Nous partons de l’ensemble à une dimension de Cantor, la ligne de l’unité, qui est divisée en trois parties égales ; prenez au milieu et continuer sur la même opération sur les deux parties restantes, jusqu’à un nombre infini d’étapes. A la fin, il devrait n’y avoir plus rien, à part des points isolés points (la poussière de Cantor).

Mais est f = (√5-1) / 2 = 0,61803398.., pour l’ensemble aléatoire de Cantor, dans laquelle la section enlevée n’est pas nécessairement celle du milieu, mais peut être l’une des trois parties au hasard. Ce résultat important, prouvé par les mathématiciens américains Daniel Mauldin et SC Williams en 1986 [10], est ce qui permet de dériver l’univers ‘E-infinity’ avec toutes ses propriétés remarquables, comme nous le verrons ensuite.

Une autre propriété mathématique de l’ensemble de Cantor est que son cardinal (nombre de points ou éléments) est exactement le même que la ligne continue originale. Ainsi, l’ensemble de Cantor est un parfait compromis entre le discret et le continuum ; c’est une structure discrète qui a le même nombre d’éléments que le continuum.

De l’ensemble de Cantor monodimensionnel, nous pouvons construire des espaces de dimensions supérieures (voir Fig.2). La version bidimensionnelle est le triangle de Sierpinski, avec la dimension aléatoire de 1 / f = 1,61803398 .. ; la version en 3 dimensions est l’éponge de Menger, avec la dimension aléatoire 2 de Hausdorff soit 2 + f = 2,61803398... Le triangle de Sierpinski et l’éponge de Menger sont les deux formes géométriques bien connues.

Ce qui n’est pas le cas avec la version à 4 dimensions, avec une dimension aléatoire de Hausdorff 4 + f3 = 4,23606797..., pour laquelle une représentation d’un artiste est seulement donnée. La version à 4 dimensions est le même que l’univers ‘E infinity’ construit à partir d’un nombre infini d’ensembles de Cantor aléatoires (comme cela sera précisé plus tard). A noter le diagramme d’espace de remplissage : il est constitué de sphères de différentes tailles représentant des espaces-temps à différentes échelles, de sorte que la totalité du volume est complètement remplie.

Cet espace de remplissage est analogue à, si ce n’est la même propriété que les pavages de Penrose quasi-périodiques, que dans deux dimensions d’un espace euclidien (c’est-à-dire plat) où le nombre d’or est la clé (voir [11] L’histoire de Phi Partie 1, SiS 62), car il est dans l’univers ‘E infinity’. Et d’ailleurs, processus de branchement sur ​​la base du nombre d’or remplissent l’espace [12], comme le sont les modèles d’agencement en spirale des feuilles chez les végétaux, avec un ’angle d’or entre les méristèmes ou ‘primordiaux’, le (voir [13] Watching the Daisies Grow, SiS 62).

Figure 2 –

Des fractales et leurs dimensions dans le calcul dérivé de l’espace-temps infini E

El Naschie a présenté de multiples dérivées formelles de l’espace-temps infini E ; je vais donner l’une d’entre elles en m’appuyant sur les propriétés mathématiques des ensembles boréliens à laquelle appartiennent les ensembles de Cantor. C’est tellement simple que même un non-mathématicien peut le comprendre.

La valeur moyenne attendue de la dimension de Hausdorff de l’ensemble de Cantor étendu à l’infini, est tout simplement une somme sur n, pour n = 0 à n = ∞, de n multiplié par la dimension de Hausdorff de l’ensemble de Cantor aléatoire élevé à la puissance n. C’est de manière plus concise encapsulé dans l’équation suivante :

Golden_Geometry_of_E_infinity_fractal_spacetime4(1)

où le côté gauche est la valeur moyenne attendue de la dimension de Hausdorff de l’ensemble de Cantor étendu à l’infini ; l’exposant dans (dc(0)) se réfère à la dimension Menger-Urysohn de l’ensemble de Cantor aléatoire, qui est 0, tandis que la dimension correspondante de Hausdorff dimension dc(0) est f. La sommation du nombre infini de termes donne la réponse : 4 + f3 exactement.

Golden_Geometry_of_E_infinity_fractal_spacetime5(2)

Maintenant, la règle de l’intersection des ensembles, aussi connue comme la formule d’une bijection, qui relate la dimension Menger-Urysohn à la dimension de Hausdorff, montre que nous pouvons élever dc(0) pour toute dimension Menger-Urysohn n pour arriver à la bonne dimension dc(n) comme suit :

dc(n) = (1/ dc(0))

(3)

Prenant dc(0) = f, and élevons à n = 4, donnant la dimension 4

dc(4) = (1/ dc(0))4-1 = 4 + f3 = 1/f3 = 4.236067977…

  = ⟨Dim E ˗ ∞⟩H

En d’autres termes, la valeur moyenne de la dimension de Hausdorff de l’univers E l’infini est la même que celle d’un univers avec une dimension Menger-Urysohn de niveau quatre. C’est pourquoi l’E infini est un univers hiérarchique qui ressemble et se suggère comme ayant 4 dimensions (c’est strictement intégré dans cinq dimensions, voir fig. 2).

L’univers ‘E infini’, les pavages de Penrose et la séquence de Fibonacci

L’univers ‘E infini’ est intimement lié aux pavages de Penrose et à la suite de Fibonacci (voir [11]) par l’algèbre de cet univers ‘E infini’ (14, 15]. Dans son livre important intitulé « Noncommutative Geometry » (Géométrie non commutative) [16], le mathématicien français Alain Connes a identifié la fractale du pavage de Penrose comme un espace de quotient mathématique (un espace de points ’collés’, agglutinés par une relation d’équivalence), avec la fonction de dimensions suivantes :

D(a, b) = a + b 

(5)

Où a, b sont des nombres entiers et f = (√5-1) / 2. Ecrivons Dn (an, bn) avec la suite de Fibonacci, il est facile de voir qu’à partir de D0 = D (0, 1) et D1 = D (1, 0), la hiérarchie dimensionnelle suivante est obtenue :

D0 = D (0, 1) = 0 + f = f

D1 = D (1, 0) = 1 + (0)f = 1

D2 = D (0+1, 1+0) = 1 + f = 1/f

D3 = D (1+1, o+1) = 2 + f = (1/f)2

D4 = D (1+2, 1+1) = 3 + 2f = (1/f)3

D5 = D (2+3, 1+2) = 5 + 3f = (1/f)4

Dn(an, bn) = D (an-1, an-2) + (bn-1 + bn-2)f = (1/f)n-1  

(6)

Dn = (1/)n-1 

Non que D4 (dimension 4), le nombre de Fibonacci est (1 / f)3 = 4 + f3, exactement la dimension de Hausdorff d’un espace Menger-Urysohn à 4 dimensions.

Par induction,

dc(n) = (1/f) n-1 

(7)

qui est identique à la formule de bijection de algèbre de l’’E-infinity’ (voir l’équation (3) ci-dessus) :

dc(n) = (1/f) n-1

(8)

La sommation des ensembles aléatoires de Cantor à l’infini est très suggestive de l’espace-temps en cours de création ou construits par des actions sur toutes les échelles, du microscopique au macroscopique et au-delà, qui est proche de ce que j’ai envisagé [4], à la suite de Whitehead [2] et du physicien théorique allemand Wolfram Schommers [17].

L’espace-temps infini E peut également résoudre les grands paradoxes dans la théorie quantique et produire de nouveaux résultats comme nous le verrons dans le prochain article [18] (E Infinity Spacetime, Quantum Paradoxes and Quantum Gravity, SiS 62).

Références

• Whitehead AN. Science and the Modern World, Lowell Lectures 1925, Collins Fontana Books, Glasgow, 1975.
• Penrose R. The Road to Reality, A Complete Guide to the Laws of the Universe, Vintage Books, London, 2005. 1 099 pp.
• Gödel’s incompleteness theorems. Wikipedia, 26 February 2014, http://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_incompleteness_theorems#Construction_of_a_statement_about_.22provability.22
• Ho MW. The Rainbow and the Worm, the Physics of Organisms, World Scientific, 1993, 2nd edition, 1996, 3rd enlarged edition, 2008, Singapore and London. https://www.i-sis.org.uk/rnbwwrm.php
• Ord GN. Fractal space-time : a geometric analogue of relativistic quantum mechanics. J Phy A : Math Gen 1983, 16, 1869-84.
• Nottale L. Fractal Space-Time and Microphysics : Towards a Theory of Scale Relativity, World Scientific, 1993.
• Feyman RP and Hibbs AR. Quantum Mechanics and Path Integrals, McGraw-Hill, New York, 1965.
• “Self-publishing editor set to retire”, Quirin Schiermeier, Nature 2008 456, 432.
• El Naschie MS. A review of E infinity theory and the mass spectrum of high energy particle physics. Chaos Solitons & Fractals 2004, 19, 209-36.
• Mauldin RD and Williams SC. Random recursive constructions : asymptotic geometric and topological properties. Trans AM Math Soc 1986, 295, 325-46.
• Ho MW. The story of phi part 1. Science in Society 62 2014.
• “There is something about phi, Chapter 9 - Fractals and the golden ratio” Javier Romanach, YouTube, accessed 1 March 2014, http://www.youtube.com/watch?v=BURjKRfOA9g
• Ho MW. Watching the daisies grow. Science in Society 62 2014.
• El Naschie MS. The theory of Cantorian spacetime and high energy particle physics (an informal review). Chaos, solitons and Fractals 2009, 41, 2635-46.
• Marek-Crnjac L. The Hausdorff Dimension of the Penrose universe. Phys Res Interna 2011, 874302, 4 pages
• Connes A. Noncommutative Geometry, Paris, 1994, http://www.alainconnes.org/docs/book94bigpdf.pdf
• Schommers W. Space-time and quantum phenomena. In Quantum Theory and Pictures of Reality (W. Schommers ed.), pp. 217-77, Springer-Verlag, Berlin, 1989.
• Ho MW. E infinity spacetime, quantum paradoxes and quantum gravity. Science in Society 62 2014.

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Annexe - La théorie quantique d’après Larousse

Théorie physique qui traite du comportement des objets physiques au niveau microscopique (atome, noyau, particules).

Max PlanckConsulter aussi dans le dictionnaire Larousse : quantique

Plan de l’article Larousse :

Les fondements de la théorie quantique :

Le « quantum d’action »

Les relations de Heisenberg

Le domaine quantique

Les objets quantiques et le monde physique : les bosons et les fermions

Deux conséquences :

La taille des atomes

Le laser

La réalité quantique

Physique

La théorie quantique a été élaborée pour résoudre une crise de la physique classique : certains phénomènes ne semblent pas de nature continue (comme l’est, par exemple, la relation de proportionnalité entre la force et l’accélération) ; ils sont « quantifiés ». Malgré des interrogations latentes, cette théorie a connu des succès éclatants : notre compréhension de la structure de la matière est quantique de part en part, notre société technologique repose sur la validité de la théorie quantique.

Les fondements de la théorie quantique

Max PlanckMax Planck

Max Planck

Niels Bohr

Albert Einstein

On considère que la théorie quantique a une triple origine : l’étude, par M. Planck, en 1900, du « rayonnement du corps noir », sur la base d’une hypothèse de quantification de l’énergie lumineuse ; l’article d’Einstein sur l’effet photoélectrique, paru en 1905, où, reprenant l’hypothèse de Planck, Einstein invente le « grain » de lumière ; le modèle d’atome de N. Bohr (1913), dans lequel le spectre de raies des atomes est expliqué en supposant que l’énergie des électrons à l’intérieur de l’atome est quantifiée. Mais c’est l’article d’Einstein qui fixe réellement les débuts de la théorie quantique car il marque l’émergence d’un « objet » de type nouveau, le quanton. Ainsi, le « grain » de lumière, appelé « photon » en 1929, ne se réduit à aucun des deux « objets » de la physique classique (onde ou particule).

Le « quantum d’action »

La discontinuité entre théories classique et quantique s’inscrit dans la nature « aberrante » (du point de vue de la physique classique) de la relation proposée par Planck. Dans cette relation de définition de la théorie quantique : E = hν, un concept de nature corpusculaire (l’énergie E) se trouve lié à un concept ondulatoire (la fréquence ν) via une nouvelle constante fondamentale (la constante de Planck h). La valeur numérique de h, qui a les dimensions d’une action (produit d’une énergie par un intervalle de temps), délimite le domaine quantique. Les théories classiques apparaissent comme des approximations de la théorie quantique, valables dans le cas où les grandeurs physiques du type « action » sont très grandes par rapport au « quantum d’action » h ; si tel n’est pas le cas, le recours à la théorie quantique est inévitable, ainsi pour l’effet photoélectrique.

Les relations de Heisenberg

ΔE.Δt≥h et Δp.Δl≥h traduisent les limitations fondamentales impliquées par le quantum d’action. Ces relations montrent aussi qu’un phénomène quantique de durée Δt ne peut être caractérisé par une valeur unique de son énergie E et qu’un phénomène d’extension spatiale Δl ne peut l’être par une valeur unique de sa quantité de mouvement p. De tels phénomènes sont au contraire caractérisés par des spectres de valeurs ΔE et Δp, ce qui a mené à attribuer à la théorie quantique une nature indéterministe. En fait, le formalisme quantique (la représentation mathématique de la théorie) permet, à partir de l’état d’un système à un instant donné, de prédire son état à un instant ultérieur. En ce sens, la théorie quantique est parfaitement déterministe.

Le domaine quantique

Pourtant, l’irruption du discontinu dans les actions (ou interactions) pose des problèmes théoriques. Par exemple, tout acte de mesure est une interaction. S’il existe un quantum d’action, toute mesure doit logiquement impliquer, pour donner un résultat, la mise en œuvre d’au moins un tel quantum. Ainsi, h se présente comme une « borne », limite inférieure de toute action envisageable, tout comme c, la vitesse de la lumière, est la limite supérieure de toute vitesse. Le domaine quantique ne coïncide cependant pas vraiment avec l’échelle microscopique : la stabilité de la matière est un phénomène macroscopique inexplicable en dehors de la théorie quantique. La compréhension d’un phénomène aussi « simple » que la couleur des corps n’est pas concevable en dehors de cette théorie. La fabrication et l’utilisation des transistors, des lasers, des montres à quartz, des microscopes électroniques, etc., en relèvent également. Pourtant, le monde à l’échelle quantique est fort différent du monde à notre échelle. La question, qui reste ouverte, est celle du lien entre la théorie quantique et son approximation classique, lien entre le comportement (quantique) des électrons et des noyaux et le comportement (classique) des objets usuels constitués de ces mêmes électrons et noyaux.

Les objets quantiques et le monde physique

Les bosons et les fermions

On démontre que les objets quantiques peuvent être classés en deux grandes catégories, se distinguant l’une de l’autre par la manière dont ces objets se comportent lorsqu’ils sont en très grand nombre (on parle alors de comportement statistique). D’un côté, on a les bosons, qui tendent à s’agglutiner et qui, même, ont d’autant plus tendance à se regrouper dans un certain état qu’ils sont déjà plus nombreux à y être. Le photon appartient à la classe des bosons. De l’autre côté, il y a les fermions, qui, au contraire, ne peuvent se trouver à plus d’un dans un même état. Parmi les fermions figurent les électrons, les protons, les neutrons, etc. À ce niveau de description, l’atome apparaît comme un ensemble de fermions liés entre eux par l’échange de bosons.

Deux conséquences

Cette différence est essentielle, comme le montrent les exemples suivants.

La taille des atomes

Ils auraient tous la même taille si les électrons n’étaient pas des fermions. Comme il faut réserver à chaque électron un certain espace, les atomes augmentent de taille, en même temps que de masse, contrairement à ce qui se passerait si les électrons n’étaient pas des fermions : les électrons seraient empilés les uns sur les autres (ils seraient tous dans le même état quantique) et tous les atomes auraient la même taille. Ainsi s’explique le fait qu’on ne passe pas à travers la matière ! S’il était possible de réduire la distance entre les électrons, la pression exercée sur eux par notre poids suffirait à les tasser… Il est surprenant de noter qu’il ait fallu attendre l’invention de la théorie quantique pour comprendre un phénomène aussi trivial.

Le laser

Un laser est une source de lumière dans laquelle on a exploité le fait que les photons sont des bosons. Une des propriétés du rayonnement laser est d’être extrêmement « directif » : les photons ne se perdent pas en route, si bien qu’on les retrouve presque tous à l’arrivée. Cela se comprend si l’on considère que les photons sont des bosons ; c’est dans leur nature même de rester groupés.

La réalité quantique

La théorie quantique n’est pas déterministe au sens de la mécanique classique. À la question « Où trouver un électron dans un certain état ? », elle répond en donnant une probabilité de présence, variable d’un point de l’espace à l’autre, mais elle ne désigne jamais un lieu précis, contrairement à la mécanique galiléo-newtonienne, que pratiquent, par exemple, les astronomes. Ce débat sur le déterminisme quantique, fort vif dans les années 1930, en particulier entre Bohr et Einstein, semble à présent sans objet, dès lors que le formalisme mathématique donne une description complète du système.

La théorie quantique introduit aussi une non-localité fondamentale, au sens où des phénomènes sans relation causale – c’est-à-dire tels qu’aucun signal ne puisse passer de l’un à l’autre – sont pourtant corrélés. Ainsi, une expérience fondamentale réalisée en 1982 à l’Institut d’optique d’Orsay a apporté une vérification directe des aspects les plus contre-intuitifs de la théorie : elle a mis en évidence, à l’échelle quantique, ce que l’on considérerait, à l’échelle macroscopique, comme une action immédiate à distance (alors que toute action connaît une borne supérieure de vitesse, celle de la lumière). Les résultats de cette expérience vérifient complètement les prédictions quantiques, en particulier le fait que deux quantons ayant interagi à un moment donné restent « liés », même après s’être séparés. (→ particule.).

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