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"Histoire de Phi - Partie 4 : les cycles d’or et l’espace-temps biologique" par la Dr Mae-Wan Ho

Traduction et Compléments de Jacques Hallard

dimanche 14 février 2021, par Ho Dr Mae-Wan



ISIAS Série Phi Partie 4

Sciences des organismes vivants - Histoire de Phi Partie 4 : les cycles d’or et l’espace-temps biologique – « La proportion d’or orchestre tous les cycles de la nature pour créer et mettre en place les systèmes spatio-temporels biologiques. Dr Mae-Wan Ho

Ajouts sur Roger Penrose (Prix Nobel de physique 2020), Vahé Gurzadyan, WMAP, Théorème KAM, Effet Papillon et Théorie du Chaos, Chaos quantique…

Traduction revue le 14/02/2021 et compléments ajoutés en annexes ou entre parenthèses […] par Jacques Hallard d’un Rapport de l’I-SIS en date du 24/03/2014.

Ajouts : deux biographies de Roger Penrose (Prix Nobel de physique 2020) et de Vahé Gurzadyan - Ajout concernantleThéorème KAM - Annexe sur Effet Papillon et Théorie du Chaos - Chaos quantique

L’article d’origine de Dr. Mae-Wan Ho / Institute of Science in Society, UK (ISIS / I-SIS), intitulé Golden Cycles & Organic Spacetime avait été publiée en 2014 et il est accessible sur ce site : http://www.i-sis.org.uk/Golden_cycles_and_organic_spacetime.php

Les cycles font tourner l’Univers

La nature est remplie de cycles avec des oscillations, depuis les vibrations subatomiques jusqu’aux mouvements planétaires, aux cycles solaires et au-delà. Certains vont jusqu’à dire qu’il en est de même pour les cycles universels à travers les morts et les renaissances.

Non seulement les bouddhistes, mais également le distingué physicien britannique Roger Penrosede l’Université d’Oxford en Grande Bretagne, d’une part, et son co-auteur Vahé Gurzadyan cosmologiste, physicien mathématicien arménien, professeur et directeur du centre de cosmologie à l’Institut de physique d’Erevan, en Arménie, d’autre part ; tous deux ont tiré la même conclusion, basée sur les données recueillies par le satellite WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe) de la NASA [1].

[Pour en savoir plus sur ces deux derniers auteurs cités, voir les notes en annexes sur Roger Penrose et Vahé Gurzadyan].

[Pour approfondir l’observatoire spatial américain WMAP, voir en annexe ].

Suite de l’article traduit

Vahé Gurzadyan a analysé sept ans de données micro-ondes provenant de la sonde spatiale WMAP (2003), ainsi que les données de l’expérience en ballon BOOMERanG en Antarctique et il a trouvé des cercles concentriques dans le fond des micro-ondes, dans lesquels la gamme de la température de rayonnement est nettement plus faible qu’ailleurs.

Penrose et Gurzadyan ont dit que ces cercles permettent de ’voir à travers’ le Big Bang dans l’éon * précédent ; cela représente la signature laissée par les ondulations sphériques d’ondes gravitationnelles générées lorsque les trous noirs sont entrés en collision.

[* Eon : selon Wikipédia, « Les quatre éons terrestres sont les suivants2, du plus ancien au plus récent : Hadéen (de - 4,6 à - 4 milliards d’années), Archéen (de - 4 à - 2,5 milliards d’années), Protérozoïque (de - 2,5 à - 0,541 milliards d’années) et Phanérozoïque (depuis l’explosion biologique cambrienne il y a 541 millions d’années, jusqu’à nos jours). Lire l’article complet sur : http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89on].

Suite de l’article traduit

Ces oscillations ou ondes gravitationnelles ont été confirmées quatre ans plus tard par les expériences BICEP (The Background Imaging of Cosmic Extragalactic Polarization 2), l’imagerie de fond de polarisation cosmique extragalactique 2), réalisées au pôle Sud ; cela a été annoncé à la presse en grande pompe en promettant au monde ’une nouvelle ère’ dans la physique [2].

Ces cycles peuvent ainsi être impliqués dans l’organisation de l’Univers tout entier, mais c’est dans les systèmes vivants que leur rôle central est le plus clairement défini [3] The Rainbow and the Worm, The Physics of organismes (publication ISIS).

Les activités cycliques créent une hiérarchiefractale imbriquée d’espaces spatiaux et temporels (espaces-temps) biologiques qui maximise simultanément la cohésion globale et la liberté locale, permettant ainsi aux organismes vivants de transférer et transformer l’énergie plus rapidement et efficacement, chaque fois qu’il y en a besoin.

Dans l’article [4] (Golden Music of the Brain - Story of Phi Part 3, SiS 62)*, nous avons vu que la proportion d’or est important dans les rythmes « au repos » du cerveau, assurant ainsi le plus haut degré de synchronisme pour diverses activités (sans aucune interférence), offrant une possibilité maximale pour diverses interactions spontanées entre les rythmes et la transition rapide de l’état de repos à l’état actif. Ceci suggère que la proportion d’or est impliquée dans l’organisation d’activités cycliques pour une liberté locale maximum et une cohésion globale, comme cela se passe dans le « jazz quantique » [3].

A voir en français : ’Histoire de Phi - Partie 3 : la proportion d’or en musique et dans le cerveau’ par Dr Mae-Wan Ho - Traduction et compléments de Jacques Hallard, dimanche 20 décembre 2020 par Ho Dr Mae-Wan - ISIAS Série Phi Partie 3 Sciences des organismes vivants - Histoire de Phi - Partie 3 : « la proportion d’or en musique et dans le cerveau - De la dynamique chaotique des processus naturels à la musique sublime et au traitement de l’information dans le cerveau… »

Dans le présent article, nous allons nous plonger plus profondément dans les activités cycliques et voir comment la proportion d’or opère sa magie dans les espaces-temps biologiques.

Des cycles qui assurent la stabilité et l’autonomie

Les cycles sont intimement liés à l’étude des systèmes dynamiques, en commençant par la mécanique céleste. Les planètes se déplacent autour du soleil en cycles annuels, et le grand physicien anglais Isaac Newton (1642-1727) avait tenté de décrire les cycles planétaires en termes de lois du mouvement qu’il avait décrites il y a plus de 300 ans.

Newton écrivit des équations différentielles pour les systèmes dynamiques, comprenant des corps massifs qui interagissent par des forces gravitationnelles. S’il n’y a que deux corps, ces équations peuvent être résolues explicitement et on trouve que les corps tournent sur des ellipses autour de leur centre de masse.

S’il y a un troisième corps - le ’problème des trois corps’ – il n’existe pas de solution exacte même si, comme dans le système solaire, deux des corps sont beaucoup plus légers que la troisième [5]. Alors, pourquoi le système solaire est-il stable ? Nous reviendrons plus tard sur cette question brûlante.

Les systèmes dynamiques des planètes peuvent être traités mathématiquement comme des oscillateurs.

Un oscillateur harmonique a une certaine fréquence naturelle. Lorsqu’il est soumis à une force extérieure de la même fréquence, une résonance se produit et le mouvement de l’oscillateur devient illimité et indéterminé. Pour un oscillateur non linéaire typique, chaque fois que la force perturbatrice présente une fréquence qui est un multiple rationnel de la fréquence propre à l’oscillateur, c’est à dire, un nombre ou des fractions de nombres entiers (comme ½, 2/3, 5/8, etc…), une résonance va se produire.

De même, dans le mouvement des planètes autour du soleil, une planète exerce une force périodique sur le mouvement d’une seconde et si les périodes orbitales des deux sont des multiples rationnels, cela peut conduire à la résonance et l’instabilité.

En 1954, les mathématiciens soviétiques Andrey Kolmogorov (1903-1987) a proposé une façon de résoudre le problème. Tout d’abord, il faut rendre linéaire le problème à résoudre pour une solution approchée et pour arriver à résoudre ce problème de façon linéaire, puis améliorer de manière inductive les solutions approchées en utilisant la solution du problème ainsi rendu linéaire comme la base d’un argument méthodique selon Newton. Un problème linéaire est celui où un petit changement dans une variable produit en conséquence un petit changement dans un autre, de façon permanente.

[D’après Wikipédia, « Andreï Nikolaïevitch Kolmogorov (en russe : Андрей Николаевич Колмогоров Écouter ; 25 avril 1903 à Tambov – 20 octobre 1987 à Moscou) est un mathématicien russe et soviétique qui a apporté des contributions significatives en mathématiques, notamment en théorie des probabilités, topologie, turbulence, mécanique classique, logique intuitionniste, théorie algorithmique de l’information et en analyse de la complexité des algorithmes1,2,3…) – Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Andre%C3%AF_Kolmogorov ].

[Pour se familiariser avec la notion de problème linéaire, on peut se reporter aux deux exemples de calculs donnés sur les sites suivants :

https://homeomath2.imingo.net/proglin.htm

et http://www.emse.fr/ beaune/solveur/expl.html].

Ces idées ont été étoffées au cours des dernières décennies par le mathématicien russe Vladimir Arnold (1937-2010) et le mathématicien américain d’origine allemande Jürgen Moser (1928-1999), ce qui a entraîné le théorème de Kolmogorov, Arnold et Moser (dénommé en abrégé KAM). Le théorème KAM est très important pour comprendre comment les activités cycliques interagissent les unes avec les autres.

Les trois mathématiciens étudient le comportement de systèmeshamiltoniens intégrables (dont on peut trouver une solution), définis par un moment (masse x vitesse) et une position. Les trajectoires (chemins de mouvement) des systèmes hamiltoniens dans l’espace de phase - espace mathématique représentant tous les états possibles - se limitent à une surface en forme de beignet, un tore invariant. Les conditions initiales différentes vont tracer différents tores concentriques invariants dans l’espace des phases, séparés par des régions chaotiques instables, où le mouvement est irrégulier et imprévisible.

[On peut consulter l’annexe sur le théorème de KAM]

Le théorème KAM stipule que si le système est soumis à une faible perturbation non linéaire, une partie du tore invariant est déformé et va survivre, tandis que d’autres seront détruits [6]. Ceux qui survivent sont ceux qui ont « des fréquences suffisamment irrationnelles » (ce qui est la condition de non-résonance, de sorte qu’ils n’interfèrent pas l’un avec l’autre).

La proportion d’or est le nombre le plus irrationnel qui est souvent évident dans de tels systèmes d’oscillateurs. Il est aussi physiquement significatif que les cercles avec des fréquences moyennes d’or sont les dernières à se briser dans un système dynamique perturbé, de sorte que le mouvement continue à être quasi-périodique, à savoir, récurrent mais pas strictement périodique, ni prévisible non plus.

Une conséquence importante du théorème KAM est que, pour un grand nombre de conditions initiales, le mouvement reste perpétuellement quasi-périodique, et donc stable. La théorie KAM a été étendue aux systèmes non-hamiltoniens et aux systèmes à fréquences rapides et lentes.

Le théorème KAM devient de plus en plus difficile à satisfaire pour les systèmes complexes avec plusieurs degrés de liberté, lorsque le nombre de dimensions du système augmente : le volume occupé par les tores diminue. Les tores de KAM qui ne sont pas détruits par la perturbation vont devenir des ensembles de Cantor (ou ensembles triadiques de Cantor, ou poussières de Cantor ou encore Cantoris) qui sont invariants, et les fréquences des Cantoris invariants se rapprochent de la proportion d’or.

La proportion d’or permet effectivement que de multiples oscillateurs, opérant dans un système complexe, puissent coexister sans faire sauter le système. Mais il laisse aussi les oscillateurs, fonctionnant dans le système, de rester libres et d’interagir à l’échelle globale (par résonance), comme cela est observé dans les potentiels de cohérence* que l’on rencontre fréquemment lorsque le cerveau traite l’information (voir [4]) **. Pour avoir une meilleure idée, nous regarderons la carte cyclique.

[* Voir dans le domaine de la biologie les exemples de la photosynthèse depuis la découverte d’une coordination supramoléculaire de ces opérations biochimiques par la cohérence quantique, qui est une « influence à distance »., ainsi que les récepteurs de l’odorat et l’adhérence aux surfaces des setæ des geckos. Voir les détails sur le site : http://fr.wikipedia.org/wiki/Physique_quantique#Effet_Aharonov-Bohm_.28Ehrenberg_et_Siday.29 ].

[** Voir l’article en français : ’Histoire de Phi - Partie 3 : la proportion d’or en musique et dans le cerveau’ par Dr Mae-Wan Ho - Traduction et compléments de Jacques Hallard, dimanche 20 décembre 2020 par Ho Dr Mae-Wan - ISIAS Série Phi Partie 3 Sciences des organismes vivants - Histoire de Phi - Partie 3 : « la proportion d’or en musique et dans le cerveau - De la dynamique chaotique des processus naturels à la musique sublime et au traitement de l’information dans le cerveau… »].

Les cycles, la quasi-périodicité et le chaos

Les cycles sont souvent représentés par une ‘circle map’, [néologisme que nous traduisons par carte de cercle], un graphique qui renvoie le cercle sur lui-même. La forme la plus simple est [7, 8] :

qn+1 = qn + W - (K/2p) sin2 pqn (1)

Lorsque la variable qn+1 est calculée en mod 1 (ce qui signifie en ne comptant que les cercles partiels, car les cercles entiers reviennent au point de départ), K est la force de couplage, W est la fréquence d’excitation externe. Ce modèle décrit les systèmes oscillatoires de la physique de l’état solide et les rythmes cardiaques. La carte de cercle suit le comportement universel des systèmes dynamiques liés à la transition des cycles en chaos* par quasi-périodicité.

[* En sciences, selon Wikipédia, « La théorie du chaos est une théorie mathématique et physique dédiée à l’étude des systèmes dynamiques. Elle s’applique à toutes sortes de sciences : astrophysique, météorologie, sciences humaines, biochimie moléculaire1. En géologie, un chaos désigne un entassement de rochers dégagé par l’érosion. ». Article complet sur le site : http://fr.wikipedia.org/wiki/Chaos ].

Suite de l’article traduit

La carte de cercle la plus étudiée implique un rapport de fréquences de base w = f = (√ 5 - 1) / 2, le ‘point critique moyen d’or’ pour K = 1 et W = Wc = 0,60666106347011 (≈ f = 0,618033989 ...) ; elle est signalée dans de nombreuses expériences dans lesquelles des nombres universels associés à la proportion d’or ont été observés et documentés. Les cartes de cercle contiennent quelques caractéristiques importantes.

Les langues d’Arnold

Les langues d’Arnold, ainsi nommées par Arnold à partir du théorème KAM, sont des régions dans l’espace des phases des cartes de cercle avec des nombres de rotation rationnelle localement constante (bobinage ou enroulement) ; les nombres compris entre les fréquences du conducteur et les fréquences de l’oscillateur naturel, p / q.

Elles ont d’abord été étudiées pour une famille de systèmes dynamiques définis par Kolmogorov, qui a proposé cette famille comme un modèle simplifié pour les rotors mécaniques d’entraînement décrits par l’équation (1).

La carte de cercle de l’équation présente certaines régions, dans l’espace des paramètres, quand il est verrouillé sur la fréquence d’entraînement (à verrouillage de phase, ou synchronisé).

Ici, q est interprété comme étant l’angle polaire, de telle sorte que sa valeur soit comprise entre 0 et 1 ; les deux paramètres sont K, la force de couplage entre le conducteur et le rotor, et W qui est la fréquence du conducteur. Une carte typique avec des langues d’Arnold est donnée dans la figure 1.

Figure 1 - Certaines langues d’Arnold dans la carte de cercle standard e = K/2p par rapport à W

Pour les petites valeurs intermédiaires de K (0-1) et certaines valeurs de W, la carte présente un verrouillage de phase. Dans la région de verrouillage de phase, qn avance essentiellement en un multiple rationnel de n ; mais il peut le faire de manière chaotique à cette petite échelle.

Les régions à verrouillage de phase, appelées langues d’Arnold, sont de couleur jaune dans la figure 1 ci-dessus, tandis que les régions quasi-périodiques sont blanches. Chaque région jaune de V s’abaisse à une valeur rationnelle de W = p / q dans la limite de K → 0. Les valeurs de (K, W) dans une de ces régions seront toutes faites dans un mouvement avec le nombre de rotation w = p / q. Par exemple, toutes les valeurs de (K, W) dans la région moyenne de V correspondent à w = ½. En d’autres termes, la séquence reste verrouillée sur le signal, en dépit du bruit ou d’une perturbation significative.

Cette capacité à verrouiller en présence de bruit est au cœur de l’utilité des circuits électroniques en boucle et à verrouillage de phase. La carte de cercle de la figure 1 est inversible ou symétrique autour de la ligne médiane.

Le point critique moyen d’or

Pour les valeurs de K>1, la carte du cercle n’est plus inversible. Sur la figure 2a [9], la carte du cercle est prolongée à K = 4. Les langues d’Arnold de synchronisation sont en gris avec les nombres d’enroulement indiqués dans la langue. Les régions blanches sont quasi-périodiques, et les régions en pointillés apparaissant au-delà de la ligne K = 1 qui représente chaos. (Voir la version complète de couleur de cette carte à la fin de cet article).

Cette carte illustre également les fractales auto-similaires à différentes échelles. L’autosimilarité et le chaos des fractales sont étroitement liés. Un système chaotique a une dimension fractale, c’est à dire, une dimension fractionnaire entre les valeurs entières habituelles, 1, 2, 3, ou 4, et présente une autosimilarité sur plusieurs échelles de grandeurs.

Il est important de noter que le chaos ne veut certainement pas dire aléatoire. Mathématiquement, le chaos est localement imprévisible et sensible aux conditions initiales, mais il est globalement déterminé ou limité par des « attracteurs étranges » (voir plus loin). Il n’existe pas de définition universellement acceptée ou rigoureuse du chaos, et il y a eu beaucoup de tentatives intéressantes pour le décrire (voir [10]).

Figure 2 – ‘Circle map’ ou carte de cercle étendue (voir le texte pour plus de détails)

Le point critique moyen d’or (GM) est l’endroit où la courbe du nombre d’enroulement irrationnel et constant f = (√5 - 1) / 2, se termine sur la ligne K = 1 (voir la figure 2b) et le comportement quasi-périodique subit une transition vers le chaos. Ce point est marqué par une suite infinie des orbites instables avec des périodes déterminées par les nombres de la suite de Fibonacci (voir [11] The Story ofPhi Part 1, SiS 62) * pour la connexion intime entre la séquence de Fibonacci, où le rapport des nombres successifs converge vers la proportion d’or).

[* ’Histoire de Phi - Partie 1 : Les mathématiques’ par la Dr Mae-Wan Ho - Traduction et compléments de Jacques Hallard, lundi 14 décembre 2020 par Ho Dr Mae-Wan - ISIAS Série Phi - Traduction du 14 décembre 2020 par Jacques Hallard d’un Rapport de l’ISIS en date du 03/03/2014 : ‘Une non-mathématicienne décrit son initiation aux secrets du nombre d’or magique situé au cœur des mathématiques, et la façon dont ce nombre se retrouve dans le monde physique et dans le vivant... »].

La proportion d’or est donc située « au bord du chaos » et elle joue un rôle dans le maintien du système d’oscillateurs actifs, sans interférer l’un avec l’autre, ainsi que le maintien à l’écart de l’état de chaos. Malheureusement, le terme chaos a une connotation négative bien imméritée, en raison de son association avec un effondrement de l’ordre et un hasard total, ce qu’il n’est pas vraiment.

Alors, notre système solaire est-il stable ? Il est prouvé que les orbites planétaires autour du soleil présentent des ratios ou des proportions d’or d’après les nombres des séquences de la suite de Fibonacci, comme beaucoup de gens l’ont commenté (voir [12, 13], par exemple).

La question est de savoir s’il restera stable en tant que tel, au moins pour des milliards d’années, ou s’il est en transit vers un chaos beaucoup plus précoce que cela. Certains astrophysiciens prétendent toutefois que les orbites planétaires sont chaotiques et sensibles aux conditions initiales, donc imprévisibles, sur plus de 100 millions d’années dans le futur [14] ; donc il n’y a toujours pas de cause immédiate pour s’alarmer.

Le chaos et les attracteurs étranges

Edward Norton Lorenz, mathématicien et météorologue du MIT est le « père » généralement reconnu de la théorie du chaos [15].

[ On peut se reporter à l’ Annexe sur Effet Papillon et Théorie du Chaos ].

Pendant l’hiver de 1961, Lorenz faisant courir un modèle climatique sur l’ordinateur décrit par 12 équations différentielles, lorsqu’il décida de répéter l’un des essais avec un petit changement. Au lieu de calculer avec six chiffres décimaux, il arrondit à trois pour gagner du temps de calcul, tout en s’attendant à obtenir les mêmes résultats. Mais cela ne s’est pas produit ainsi. Ce fut en fait le début de sa découverte de la ’dépendance sensible aux conditions initiales’ des systèmes chaotiques, qu’il a décrit comme « l’effet papillon » *.

[* D’après Wikipédia, « l’effet papillon » est une expression qui résume une image concernant le phénomène fondamental de sensibilité aux conditions initiales en théorie du chaos. Elle est parfois exprimée à l’aide d’une question : « Un simple battement d’ailes d’un papillon peut-il déclencher une tornade à l’autre bout du monde ? » Article complet sur le site : http://fr.wikipedia.org/wiki/Effet_papillon ]

Cela rend par exemple les prévisions météorologiques impossibles à long terme. Ses équations « pour jouer » ont produit l’« attracteur de Lorenz » (Figure 3) (le prototype des « attracteurs étranges » associés à des systèmes chaotiques), qui soutient la ressemblance fortuite à des battements d’ailes de papillon, et qui est devenu l’emblème de l’ère du chaos qui a suivi.

[A propos des attracteurs, on peut encore se reporter à ceci :

Théorie du chaos et effet papillon - Chaos et hasard

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Attracteur étrange de LorentzImage : La représentation mathématique d’un système dynamique dans un ordinateur montre une figure appelée un attracteur qui traduit fidèlement les mouvements d’un objet c’est à dire sa vitesse et sa position. Ici l’attracteur étrange du météorologue Edward Lorenz (1917-2008). C’est Edward Lorenz qui par hasard découvre le principe fondateur de la théorie du chaos. En modifiant les conditions initiales d’un système informatique de prévision météorologique, il démontre qu’une faible incertitude initiale donne lieu à une incertitude croissante dans les prévisions, et cette incertitude devient inacceptable après un temps long. Il en conclut que cette sensibilité aux conditions initiales faire perdre tout espoir de prévision à long terme, c’est ce que l’on appelle l’effet papillon de Lorenz. Un simple battement d’ailes d’un papillon peut déclencher des ouragans dévastateurs des milliers de kilomètres plus loin. Crédit image : domaine public. Lire la totalité du document sur ce site : http://www.astronoo.com/fr/articles/theorie-du-chaos.html ].

Suite de l’article traduit

De nombreux « attracteurs étranges » ont été créés, la plupart du temps comme des illustrations obtenues à partir d’ordinateurs, à commencer par le livre de Clint Sprott [16]. Mais la théorie du chaos a trouvé des applications en météorologie, en physique, ainsi que dans l’ingénierie, l’économie, la biologie et la médecine.

Figure 3- L’attracteur de Lorenz par Clint Sprott

L’attracteur de Lorenz est une fractale, avec une structure auto-similaire à différentes échelles. Il a une dimension fractale de 2,06215 - presque une surface à 2 dimensions, mais pas tout à fait, car il ne peut pas être aplati - et il survient dans un espace d’au moins 3 dimensions. Il contient des orbites périodiques instables qui peuvent être identifiées en utilisant divers procédés mathématiques [17] et il peut aussi être considéré comme des orbites périodiques tordues ou ’nouées’ [18].

Cela nous ramène à l’importance des cycles dans la compréhension des processus naturels. L’attracteur de Lorenz (figure 3) est une section de Poincaré de l’espace des phases d’un système dynamique, qui donne une image de la façon dont la trajectoire du système est à l’intersection avec la section ou avec la surface de l’espace des phases.

[* D’après Wikipédia, « En mathématiques, particulièrement en système dynamique, une application d’Henri Poincaré, est une application liée à une orbite périodique (en) dans l’espace d’états (en) d’un système dynamique et un certain sous-espace de dimension moindre, appelé la section de Poincaré, transverse au flot du système…Dans la section de Poincaré S, l’application de Poincaré P projette le point x sur P(x). Voir le schéma explicatif ici Article complet sur le site : http://fr.wikipedia.org/wiki/Application_de_Poincar%C3%A9 ]

La section de Poincaré est nommée d’après le penseur français Henri Poincaré (1854-1912), qui a excellé dans tous les domaines qui existaient au cours de sa vie : il a été celui qui a jeté les bases de la théorie moderne du chaos avec sa recherche sur le « problème des trois corps’ (voir plus haut). Poincaré a également souligné l’importance des orbites périodiques.

La théorie du chaos a été reprise avec enthousiasme dans tous les domaines, y compris dans la physique quantique, sous la forme de « chaos quantique », qui tente de construire un pont entre le chaos dans la mécanique classique et le mouvement ondulatoire des électrons dans les atomes et les molécules.

Martin Gutzwiller, un chef de file dans le chaos quantique a écrit [19] : « l’espace de phase pour un système chaotique peut être organisé, au moins partiellement autour des orbites périodiques, même si elles sont parfois très difficiles à trouver ».

Le terme « chaos quantique » désigne un champ de recherches ouvert dans les années 1970 qui est issu des succès de la théorie du chaos en dynamique hamiltonienne classique ; il tente essentiellement de répondre à la question : Quel est le comportement en mécanique quantique d’un système classiquement chaotique ?

D’après Wikipédia, « La mécanique hamiltonienne est une reformulation de la mécanique newtonienne. Son formalisme a facilité l’élaboration théorique de la mécanique quantique. Elle a été formulée par William Rowan Hamilton en 1833 à partir des équations de Lagrange, qui reformulaient déjà la mécanique classique en 1788… » Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9canique_hamiltonienne

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La turbulence et la proportion d’or

Figure 4 – Image d’un écoulement turbulent généré par le tourbillon d’extrémité de l’aile de l’avion montré par un colorant rouge agricole, Wikimedia

Le chaos typique se trouve dans les écoulements turbulents de fluides, des gaz et de l’atmosphère. La turbulence est traditionnellement considérée comme l’un des problèmes les plus difficiles de la physique et des mathématiques.

Marie Selvam, qui est maintenant à la retraite après avoir été directeur adjoint de l’Institut indien de météorologie tropicale à Pune, fut le premier à proposer en 1990 une théorie de l’écoulement turbulent des fluides, basée sur les fluctuations fractales des espaces-temps (voir [20]).

Marie Selvam traite les fluctuations fractales sur toutes les échelles spatio-temporelles comme une superposition d’un continuum de tourbillons ou vortex. De grandes fluctuations d’échelle sont le résultat de l’intégration des petites fluctuations d’échelle à l’intérieur.

Les tourbillons de plus grande envergure se développent en enfermant les petits tourbillons à une grande échelle, et le tracé des trajectoires de croissance d’un trajet d’écoulement global est une spirale logarithmique*, qui est aussi en rapport avec le motif du pavage de Penrose quasi-périodique pour sa structure interne.

[* A propos de spirale logarithmique, voir également les aspects mathématiques aussi bien qu’esthétiques sur le site suivant : http://www.mathcurve.com/courbes2d/logarithmic/logarithmic.shtml ]

Tourbillons ou vortex - Le rapport des rayons aux vitesses de circulation correspondent aux étapes de croissance successives de la simulation de la turbulence [voir ci-après]* qui génère la géométrie du motif quasi-périodique du pavage de Penrose : il est, bien entendu, égal au rapport d’or f = 1,618. (voir [11] **). Fait intéressant, la turbulence créée par le tourbillon d’extrémité de l’avion dans la figure 4 fait tracer une spirale logarithmique qui se rapproche de la proportion d’or.

[* Une simulation de turbulence est, d’après Wikipédia, « un outil, habituellement un calcul, utilisé pour prédire le comportement d’une turbulence, c’est-à-dire d’un mouvement de fluide dans lequel certaines parties du fluide ont un mouvement de rotation sur elles-mêmes ». Article complet sur le site : http://fr.wikipedia.org/wiki/Simulation_de_la_turbulence]

[** Voir l’article : ’Le prix Nobel de chimie 2011 a été attribué au nombre d’or !’ par le Dr Mae-Wan Ho. Traduction et compléments de Jacques Hallard ; accessible sur le site : http://www.isias.lautre.net/spip.php?article202 ].

La proportion d’or et l’espace-temps biologique

Traiter le phénomène de turbulence comme un continuum de tourbillons discrets ou de cycles de la croissance d’un motif de pavage de Penrose, capte les principales caractéristiques de l’espace-temps biologique. Les cycles impliquent un perpétuel retour, une régénération qui confère l’identité, la stabilité et l’autonomie, qui sont les signatures mêmes de la vie, du vivant.

Mon impression artistique d’un espace-temps fractal biologique (Figure 5) pourrait être facilement interprétée en termes de tourbillons plus grands (cycles d’activité) renfermant de plus petits tourbillons à l’intérieur, sauf pour l’intrication quantique qu’il éloigne d’une hiérarchie imbriquée et réticulaire parfaite.

Figure 5 – Impression d’artiste : une fractale biologique et un espace-temps enchevêtrés (d’après [2])

Pour le mathématicien et philosophe anglais Alfred North Whitehead (1861-1947), il ne faisait aucun doute que l’univers entier est un super-organisme consistant en des organismes sur toutes les échelles, allant des galaxies aux particules élémentaires [21], et il avait fait valoir qu’il est possible de connaître et de comprendre la nature, à la fois comme un organisme vivant et avec la sensibilité d’un organisme vivant. J’ai pris ses paroles au sérieux et j’en ai beaucoup profité dans ma quête continuelle sur le sens de la vie et du vivant.

Cette série se terminera avec une nouvelle vision étonnante de l’univers [22] (Golden Geometry of E Infinity Fractal Spacetime, SiS 62) qui nous rapproche beaucoup de notre intuition pour l’espace-temps biologique.

http://www.i-sis.org.uk/graphics/Golden_cycles_and_organic_spacetime1.jpg

Circle map Wikimedia http://en.wikipedia.org/wiki/File:Circle_map_winding_number.jpeg

Références

https://www.i-sis.org.uk/menu.php

https://www.i-sis.org.uk/about.php

Voir également : ’En souvenir de la visionnaire de l’évolution Dr. Mae-Wan Ho ...isias.lautre.net › spip › article612- 02 avril 2017 - Au fil des années consacrées à l’ISIS…

Science in Society Archive

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Compléments biographiques :



Penrose - Sciences - Prix Nobel de physique 2020 : Roger Penrose, pionnier de la théorie des trous noirs et de la conscience quantique

(Lire la bio)Laurent Sacco Journaliste Publié le 06/10/2020 - Modifié le 07/10/2020

Le prix Nobel de physique 2020 est particulièrement mérité. Il récompense les travaux théoriques sur les trous noirs de Sir Roger Penrose, connu aussi pour ses spéculations sur la physique de l’esprit, et les travaux observationnels menés par Andrea Ghez et Reinhard Genzel, avec leurs équipes, montrant la présence d’un étrange objet compact et non lumineux, contenant 4 millions de masses solaires, au centre de la Voie lactée. Tout indique qu’il s’agit bien d’un trou noir à ce jour.

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[EN VIDÉO] Un trou noir pourrait-il entrer en collision avec la Terre ? Un trou noir est une région de l’espace dont rien ne peut s’échapper, pas même la lumière. Il est donc naturel de se demander si ce type d’objet pourrait être une menace pour notre planète. Futura-Sciences a interviewé Jean-Pierre Luminet, astrophysicien de renom, qui nous répond ici en vidéo. 

Enfin ! C’est sans aucun doute la réaction que bon nombre de spécialistes de la relativité générale et de l’astrophysique relativiste ont eu ce 06 octobre 2020 à l’annonce de l’attribution du prix Nobel de physique.

Une première moitié est attribuée à Roger Penrose, sujet britannique né le 8 Août 1931 à Colchester au Royaume-Uni et d’ascendance russe par l’une de ses grands-mères. Mathématicien et physicien anglais de très grand talent — certains diront, à juste titre, génial comme on peut s’en rendre compte dans la présentation qu’en fait Jean-Pierre Luminet dans la vidéo ci-dessous ( et sur son blog où il n’hésite pas à dire à son sujet que «  ce n’est pas un seul prix de Nobel de physique pour les trous noirs que méritait Roger Penrose, mais quatre ou cinq ! » ) —, il a passé son doctorat de mathématique en 1957 à l’université de Cambridge. Il est connu pour avoir révolutionné l’étude de la relativité générale dans les années 60 et 70 en introduisant de puissantes techniques de topologie différentielle et de géométrie algébrique. Les outils mathématiques qu’il a utilisé vont notamment permettre à Steven Hawking de faire ses découvertes sur la théorie des trous noirs et en cosmologie et lui-même n’a pas été en reste comme on va le voir.

Dernière vidéo sur la gravitation quantique, consacrée à la Cosmologie cyclique conforme de Penrose avec laquelle Jean-Pierre Luminet clôturait sa série de 28 enregistrements faits maison, adaptés de son livre L’écume de l’espace-temps qui paraîtra en octobre 2020 aux éditions Odile Jacob. Enregistrement du 24 mai 2020. © Jean-Pierre Luminet

De la géométrie algébrique à la cosmologie en passant par les trous noirs

Professeur à l’université d’Oxford, le prix Nobel de physique lui est en effet attribué pour « la découverte que la formation des trous noirs est une prédiction robuste de la théorie générale de la relativité » selon les mots de l’académie suédoise. Avant un célèbre article de Penrose publié en 1965 montrant que ces objets étaient une prédiction incontournable de l’effondrement gravitationnel complet d’une étoile en relativité générale, beaucoup pensaient que ce n’était qu’un artefact des travaux en 1939 de Robert Oppenheimer, ce dernier avait alors posé le socle sur lequel les théories des étoiles à neutrons et celle de l’effondrement gravitationnel conduisant à la formation d’un trou noir seront construites à la fin des années 1950 et au début des années 1960. Il s’agit des articles écrits en collaboration avec ses étudiants de l’époque : On Massive Neutron Cores, avec Georges Volkoff, et On Continued Gravitational Contraction, avec Hartland Snyder.

Dans ces articles, le point de départ des calculs était une étoile parfaitement sphérique et sans rotation. Une situation génériquement idéalisée, jamais rencontrée dans le cosmos observable. Mais, selon Penrose, même sans ces hypothèses, une étoile réaliste suffisamment massive et ayant épuisé son carburant nucléaire devait s’effondrer pour devenir tellement compacte qu’un horizon des événements l’entourant devait se former, c’est-à-dire que l’étoile passait sous la surface d’une sphère à l’intérieur de laquelle plus rien ne pouvait sortir car il aurait fallu pour cela dépasser la vitesse de la lumière.

Le théorème découvert par Penrose montrait également que le point final de cet effondrement devait être une singularité de l’espace-temps dans le cadre de la relativité générale classique. Il en est sans doute tout autrement du fait d’effet quantique mais un horizon des événements fermé — la véritable caractéristique rigoureuse de l’existence d’un trou noir —, doit subsister.

Ce résultat de Penrose allait stimuler grandement l’étude de la physique des trous noirs, d’autant plus qu’un trou noir supermassif peut se former quasi directement à partir d’une masse de gaz dont la densité moyenne n’est guère plus élevée que celle de l’air, de sorte qu’il n’y a aucune raison de penser qu’un effet physique inconnu stoppe l’effondrement d’un tel objet, empêchant la formation d’un horizon des événements.

On doit à Penrose non seulement le premier théorème de singularité pour l’effondrement des étoiles, un des théorèmes de singularité en cosmologie conjointement avec Hawking, mais aussi la découverte du premier processus d’extraction de l’énergie d’un trou noir en rotation et bien d’autres contributions à la physique des trous noirs (voir à ce sujet le dossier de Futura ).

Voir aussi Singularités, trou de ver et voyage spatiotemporel

Roger Penrose parle de la relativité générale, des trous noirs et de sa théorie cosmologique. Pour obtenir une traduction en français assez fidèle, cliquez sur le rectangle blanc en bas à droite. Les sous-titres en anglais devraient alors apparaître. Cliquez ensuite sur l’écrou à droite du rectangle, puis sur « Sous-titres » et enfin sur « Traduire automatiquement ». Choisissez « Français ». © London Mathematical Society

Vers une théorie quantique de l’espace-temps et de l’esprit

Penrose n’est pas qu’un grand maître de la physique de l’espace-temps d’Einstein ayant proposé ses dernières années une intrigante nouvelle théorie cosmologique dont Futura avait longuement parlé dans plusieurs articles, et qui est l’objet également de la vidéo de Jean-Pierre Luminet. Il s’est bien évidemment attaqué au formidable problème que constitue la fusion des équations et concepts de la physique quantique avec celles et ceux de la physique relativiste.

Il a pour cela proposé sa théorie des twisteurs (twistors en anglais) et celle des réseaux de spin. La première a été intensivement appliquée à la théorie des cordes dans le cadre de la correspondance AdS/CFT ces dernières années. La seconde, quant à elle, est à la base de la gravitation quantique à boucles (LQG). Rappelons que ces deux théories sont des candidates sérieuses au titre de théorie quantique de la gravitation, laquelle est indispensable pour pouvoir, peut-être, répondre à des questions comme : « Qu’y avait-il avant le Big Bang ? » ou « Comment l’univers et l’espace-temps sont-ils nés ? ».

Enfin, il s’est illustré avec sa théorie des pavages quasi-périodiques du plan anticipant la découverte des quasi-cristaux et par ses livres où il expose ses théories sur la modification de la mécanique quantique en liaison avec une physique spéculative de la conscience.

Futura a consacré plusieurs articles aux théories de Roger Penrose développées avec l’anesthésiologiste Stuart Hameroff et concernant une théorie quantique de la conscience ; il est nécessaire de redire à ce sujet, en reprenant leurs contenus que, malheureusement, les réflexions et interrogations légitimes de certains physiciens éminents sur ces rapports entre esprit et matière ont été d’une part très mal comprises et déformées mais aussi présentées comme des faits établis par les tenants douteux, voire franchement malhonnêtes, du New Age d’autre part.

Roger Penrose nous parle de ses idées sur l’origine de la conscience et comment il en est venu à écrire un puis deux célèbres livres à ce sujet. Pour obtenir une traduction en français assez fidèle, cliquez sur le rectangle blanc en bas à droite. Les sous-titres en anglais devraient alors apparaître. Cliquez ensuite sur l’écrou à droite du rectangle, puis sur « Sous-titres » et enfin sur « Traduire automatiquement ». Choisissez « Français ». © Lex Fridman

Même pour un physicien sérieux et ouvert d’esprit, quelque peu versé par exemple dans la lecture des Upanishads, il va sans dire que des choses comme les soi-disant thérapies quantiques, théorie de l’attraction et autres fariboles invoquées par exemple dans le développement personnel et basées sur des rapports supposés entre la conscience et le monde physique selon la mécanique quantique, ne sont que des bouffonneries pseudo-scientifiques.

Les spéculations de Penrose et Hameroff restent stimulantes, mais on en est toujours au stade des hypothèses de travail que l’on doit encore développer et tester expérimentalement, ce que ne semblent pas nier les deux hommes. Pour le moment, ces scientifiques ressemblent à des funambules qui cherchent à ne pas tomber dans la mystique quantique pseudoscientifique New Age ou dans un positivisme frileux refusant d’explorer de nouvelles voies périlleuses dans un territoire inconnu, celui de la physique de l’esprit.

On l’aura compris, l’influence de Penrose aura été déterminante pour le renouveau des études concernant la théorie de la relativité générale au cours des années 1960 et la prise au sérieux de l’existence des trous noirs qui va motiver, notamment un autre prix Nobel de physique, Kip Thorne, à développer l’astronomie gravitationnelle, avec les détecteurs Ligo et Virgo, et plus récemment les membres de la collaboration EHT à obtenir la première image d’un trou noir, M87*.

En 2009, Andrea Ghez parlait de son travail sur les trous noirs dans une conférence TED. Avec les nouvelles données issues des télescopes Keck, le prix Nobel de physique 2020 nous montre comment les optiques adaptatives à la pointe de la technologie aident les astronomes à comprendre les objets les plus mystérieux de notre univers : les trous noirs. Elle apporte aussi la preuve qu’un gigantesque trou noir pourrait se tapir dans le centre de la Voie lactée. Pour obtenir une traduction en français assez fidèle, cliquez sur le rectangle blanc en bas à droite. Les sous-titres en anglais devraient alors apparaître. Cliquez ensuite sur l’écrou à droite du rectangle, puis sur « Sous-titres » et enfin sur « Traduire automatiquement ». Choisissez « Français ». © TED

La théorie des trous noirs à l’épreuve des observations de Sgr A*

Venons en maintenant aux lauréats de la deuxième moitié du Prix Nobel de Physique 2020. Il y a d’abord Andrea Ghez, née en 1965 à New York. Elle a décroché son doctorat en 1992 au mythique California Institute of Technology, à Pasadena, en Californie. Elle est actuellement professeur à l’université de Californie, Los Angeles. Il y a ensuite Reinhard Genzel, né en 1952 à Bad Homburg vor der Höhe, en Allemagne. Il a passé son doctorat en 1978 à l’université de Bonn. Il est actuellement directeur à l’Institut Max Planck de physique extraterrestre et professeur à l’université de Californie, Berkeley, États-Unis.

L’académie suédoise leur a décerné le prix Nobel « pour la découverte d’un objet compact supermassif au centre de notre galaxie ». Comme l’expliquent les deux nouveaux Nobel dans les vidéos de cet article, leurs travaux ont porté en grande partie sur l’étude des mouvements des étoiles autour d’une région au centre de la Voie lactée laquelle se comporte à bien des égards comme un trou noir. L’étude de ces mouvements en particulier permet de tester des théories de la gravitation relativiste alternatives à la théorie d’Einstein. Futura a consacré plusieurs articles à ces travaux.

Cette simulation figure les orbites d’un petit groupe d’étoiles situées à proximité du trou noir supermassif au centre de la Voie lactée. Au cours de l’année 2018, l’une de ces étoiles, baptisée S2, passa tout près du trou noir et fut l’objet d’une intense campagne d’observations au moyen des télescopes de l’ESO. Son comportement fut conforme aux prédictions de la théorie de la relativité générale d’Einstein – incompatible en revanche avec la théorie de la gravitation de Newton. © ESO/L. Calçada/spaceengine.org

On pourra être surpris que le prix Nobel ne soit pas attribué pour la découverte d’un trou noir supermassif mais si l’on veut être absolument rigoureux — même s’il est de plus en plus déraisonnable de douter de l’existence des trous noirs, c’est-à-dire des objets non seulement compacts mais avec un horizon des événements —, cela reste encore logiquement possible et toute bonne démarche scientifique doit rester encore ouverte à cette possibilité. De toute manière, que l’objet central derrière la radiosource Sgr A* soit un trou noir ou quelque chose de plus exotique, dans les deux cas le Nobel est mérité car nous sommes certains que cet objet est extrême.

Terminons sur une dernière note. On peut penser que si Steven Hawking était encore parmi nous, il aurait eu le Nobel à égalité avec Roger Penrose.

Dans cette interview vidéo, l’autre lauréat du prix Nobel de physique 2020, Reinhard Genzel, directeur de l’Institut Max Planck dédié à la Physique extraterrestre, aborde l’étude qu’a réalisée son équipe sur les étoiles situées en périphérie du trou noir supermassif occupant le centre de la Voie lactée, et notamment la découverte récente de la précession de l’orbite de l’étoile S2. L’étude a été permise grâce à un ensemble d’instruments installés sur le Very Large Telescope de l’ESO. Pour obtenir une traduction en français assez fidèle, cliquez sur le rectangle blanc en bas à droite. Les sous-titres en anglais devraient alors apparaître. Cliquez ensuite sur l’écrou à droite du rectangle, puis sur « Sous-titres » et enfin sur « Traduire automatiquement ». Choisissez « Français ». © MPE / Twentytwo Film GmbH, ESO/L. Calçada

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Liens externes : 2020 Nobel Prize in Physics

Theoretical foundation for black holes and the supermassive compact object at the galactic centre

SciencesOn aurait enfin découvert l’origine des mystérieux sursauts radio rapides

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SciencesOndes gravitationnelles : des dizaines de collisions de trous noirs testent la relativité générale

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Source : https://www.futura-sciences.com/sciences/actualites/trou-noir-supermassif-prix-nobel-physique-2020-roger-penrose-pionnier-theorie-trous-noirs-conscience-quantique-83404/

Voir aussi : https://www.futura-sciences.com/sciences/personnalites/theorie-relativite-generale-roger-penrose-260/

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Vahé Gurzadyan

Un article de Wikipédia l’encyclopédie libre sur Vahe Gurzadyan - Vahe Gurzadyan, Vahe Gurzadyan Гурзадян Ваагн Григорьевич6.jpg – Né le 21 novembre 1955 (65 ans) Erevan, RSS arménienne Nationalité arménien. Connu pour Informations panspermie. Carrière scientifique. Des champs Physique mathématique.

Vahagn ’ Vahe ’ Gurzadyan ( arménien : Վահագն Գուրզադյան ; né le 21 novembre 1955) est un physicien mathématicien arménien et professeur et chef du centre de cosmologie à l’Institut de physique d’ Erevan, Erevan, Arménie, mieux connu pour avoir co-écrit ’Cercles concentriques dans WMAP les données peuvent fournir des preuves de violentes activités pré-Big-Bang »papier avec son collègue Roger Penrose , et collaborant sur le récent livre de Roger Penrose ‘Cycles of Time’ .

Gurzadyan est né à Erevan, Arménie (alors URSS ), diplômé de l’Université d’État d’Erevan (1977), étudiant de troisième cycle au département de physique théorique, Institut de physique Lebedev, Moscou (1977-1980 ; doctorat en 1980), DSci en physique théorique et mathématique (1988) ). En 1989, il a donné des conférences sur les systèmes dynamiques dans quatre universités japonaises, puis a occupé des postes de visiteur à l’Université du Sussex (1996–1997) et, depuis 2001, à l’Université Sapienza de Rome. Son père Grigor Gurzadyan, un astronome arménien a été le pionnier de l’astronomie spatiale utilisant des satellites. Son grand-père Ashkharbek Kalantar était un archéologue et historien de l’Empire russe et arménien, membre de la Société archéologique impériale de Russie et gardien du musée asiatique de Saint-Pétersbourg. Vahe Gurzadyan – Source : https://fr.qaz.wiki/wiki/Vahe_Gurzadyan


Annexe sur l’observatoire spatial américain WMAP

WMAP ou ‘Wilkinson Microwave Anisotropy Probe’ ou est un observatoire spatial américain de la NASA lancé en juin 2001 pour dresser une carte de l’anisotropie du fond diffus cosmologique. Par rapport à l’observatoire spatial COBE qui l’a précédé dans les années 1980, la mission a permis d’améliorer d’un facteur 68 000 la précision des valeurs des principaux paramètres cosmologiques comme l’âge de l’Univers (13,77 milliards d’années) et la proportion de ses composants : matière baryonique (4,6 %), matière noire (24 %) et énergie sombre (71 %). Les mesures effectuées confirment les hypothèses du modèle standard de la cosmologie. Le satellite de 840 kg, qui a effectué ses observations depuis une orbite autour du point de Lagrange L2, a achevé sa mission en juillet 2010.

Wilkinson Microwave Anisotropy Probe Satellite scientifique

Description de cette image, également commentée ci-après

Vue d’artiste du satellite WMAP.

Article complet sur ce site : https://fr.wikipedia.org/wiki/Wilkinson_Microwave_Anisotropy_Probe

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Annexe sur le Théorème KAM

Le Théorème KAM d’après Wikipédia

Pour un article plus général, voir théorie du chaos.

Le théorème KAM est un théorème de mécanique hamiltonienne qui affirme la persistance de tores invariants sur lesquels le mouvement est quasi périodique, pour les perturbations de certains systèmes hamiltoniens. Il doit son nom aux initiales de trois mathématiciens qui ont donné naissance à la théorie KAM : Kolmogorov, Arnold et Moser. Kolmogorov annonça un premier résultat en 1954, mais il ne donna que les grandes lignes de sa démonstration. Le théorème de Kolmogorov fut démontré rigoureusement en 1963 par Arnold. Moser obtint au même moment un théorème de type KAM dans un cadre différentiable.

On pensait autrefois que l’hypothèse ergodique de Boltzmann s’appliquait à tous les systèmes dynamiques non-intégrables. Le théorème KAM met en défaut cette hypothèse, comme c’était déjà le cas avec le résultat de l’expérience de Fermi-Pasta-Ulam (1953). En effet, le théorème KAM nous apprend que la perturbation d’un système intégrable ne conduit pas nécessairement à un système ergodique, mais que des tores invariants peuvent subsister dans des régions de mesure finie de l’espace des phases, correspondant à des îlots où la dynamique du système perturbé reste quasi périodique.

Articles connexes

  • Barbara Burke-Hubbard & John Hubbard, « Loi et ordre dans l’univers : le théorème KAM », Pour la Science 188 (Juin 1993) 74-82.
  • Vladimir I. Arnold et André Avez, Ergodic Problems of Classical Mechanics, Advanced Book Classics, Pearson Addison Wesley (Mai 1989) ASIN : 0201094061.
  • Vladimir I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag (2e édition-1989) (ISBN 0-387-96890-3).
    Une synthèse de l’état de l’art en mécanique analytique (formalismes Lagrangien & Hamiltonien) avec l’accent mis sur l’interprétation géométrique de ces formalismes, par l’un des plus brillants mathématiciens du domaine. À partir du second cycle universitaire.

Introduction au théorème KAM | 17/05/2016 | Jacques Fejoz Vidéo 1:38:36 - 25 mai 2017 - Culture Math Des mathématiques vivantes

Conférence de Jacques Fejoz organisée par le Département de mathématiques et applications (DMA) de l’ENS lors d’une journée ayant pour thématique ’Formes Normales en dynamique’.

Démonstration magistrale « à l’ancienne au tableau noir » (JH)

Source : https://www.youtube.com/watch?v=YTqA212Pslc


Annexe sur l’ Effet Papillon et Théorie du Chaos

Effet Papillon et Théorie du Chaos Vidéo 24:17 - 16 février 2018 - ScienceEtonnante

Les battements d’ailes d’un papillon au Brésil peuvent-ils provoquer une tornade au Texas ? Demandons à la théorie du Chaos ! Le billet qui accompagne la vidéo : https://scienceetonnante.com/2018/02/... –

[Remarquable exposé très bien documenté – JH].

Écrit et réalisé par David Louapre © Science étonnante Le film ’Chaos’ en 9 chapitres : https://www.youtube.com/playlist?list... La vidéo d’ElJJ sur les fractales : https://www.youtube.com/watch?v=Y4ICb... Le double pendule : https://www.youtube.com/watch?v=m923F... * MES LIVRES : - ’Mais qui a attrapé le bison de Higgs ?’ https://www.amazon.fr/gp/product/B07R... - ’Insoluble, mais vrai !’ https://www.amazon.fr/gp/product/2081... * ME SOUTENIR : http://www.tipeee.com/science-etonnante * SUR LES RESEAUX SOCIAUX : Facebook : https://www.facebook.com/sciencetonnante Twitter : https://www.twitter.com/dlouapre * LE BLOG : http://scienceetonnante.com

Source : https://www.youtube.com/watch?v=YrOyRCD7M14

Théorie du chaos d’après Wikipédia – Quelques extraits choisis

Voir l’animation illustrant la théorie du chaos  : le double pendule a un comportement déterministe (car répondant aux lois newtoniennes) mais imprédictible. La sensibilité aux conditions initiales provoque une divergence des mouvements des deux pendules, initialement identiques (le changement est ici provoqué par une instabilité numérique survenant au cours de la résolution).

En mathématiques, la théorie du chaos étudie le comportement des systèmes dynamiques très sensibles aux conditions initiales, un phénomène généralement illustré par l’effet papillon. Pour de tels systèmes, des différences infimes dans les conditions initiales entraînent des résultats totalement différents, rendant en général toute prédiction impossible à long terme. Cela concerne même les systèmes purement déterministes (ceux dont le comportement futur est entièrement déterminé par les conditions initiales, sans aucune intervention du hasard) : leur nature déterministe ne les rend pas prévisibles car on ne peut pas connaître les conditions initiales avec une précision infiniea. Ce comportement paradoxal est connu sous le nom de chaos déterministe, ou tout simplement de chaos. Le comportement chaotique est à la base de nombreux systèmes naturels, tels que la météo ou le climat. Ce comportement peut être étudié grâce à l’analyse par des modèles mathématiques chaotiques, ou par des techniques analytiques de récurrence et des applications de Poincaré. La théorie du chaos a des applications en météorologie, sociologie, physique, informatique, ingénierie, économie, biologie et philosophie.

Sommaire

Un système dynamique est dit chaotique si une portion « significative » de son espace des phases présente simultanément les deux caractéristiques suivantes :

Qu’est-ce que la « théorie du chaos » ?

Au cours de son histoire, la physique théorique s’était déjà trouvée confrontée à la description de systèmes complexes macroscopiques, comme un volume de gaz ou de liquide, mais la difficulté à décrire de tels systèmes semblait découler du très grand nombre de degrés de liberté internes du système à l’échelle microscopique (atomes, molécules). La mécanique statistique avait dans ce cas permis de rendre compte de façon satisfaisante des propriétés macroscopiques de ces systèmes à l’équilibre. Ce fut donc une grande surprise lorsqu’on s’aperçut à la fin du XIXe siècle qu’une dynamique d’une grande complexité pouvait résulter d’un système simple possédant un très petit nombre de degrés de liberté1, pourvu qu’il possède cette propriété de sensibilité aux conditions initiales. La théorie du chaos s’attache principalement à la description de ces systèmes à petit nombre de degrés de liberté, souvent très simples à définir, mais dont la dynamique nous apparaît comme très désordonnée2.

La théorie du chaos est-elle née dans les années 1970 ?

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ef/Lorenz_attractor_boxed.svg/220px-Lorenz_attractor_boxed.svg.png

Attracteur étrange de Lorenz (1963)

La réponse à cette question est : oui et non.

  • Non, car le phénomène de sensibilité aux conditions initiales a été découvert dès la fin du XIXe siècle par Henri Poincaré, dans des travaux concernant le problème à N corps en mécanique céleste (notamment dans le volume 3 des Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste), puis par Hadamard avec un modèle mathématique abstrait aujourd’hui baptisé « flot géodésique sur une surface à courbure négative ». Cette découverte a entraîné un grand nombre de travaux importants, principalement dans le domaine des mathématiques. Ces travaux sont évoqués dans le paragraphe Développements historiques situé plus loin.
  • Oui, car ce n’est véritablement que dans les années 1970 que la théorie du chaos s’est progressivement imposée sur le devant de la scène scientifique, opérant une rupture épistémologique forte. Le terme suggestif de « chaos » n’a d’ailleurs été introduit qu’en 1975 par les deux mathématiciens Tien-Yien Li et James A. Yorke3. Otto E. Rössler, connu pour avoir découvert l’un des attracteurs chaotiques le plus étudié (et appelé aujourd’hui attracteur de Rössler4), utilisa le terme de « chaos » dans la plupart de ses articles dès 1976. Le caractère tardif de ce changement de paradigme s’explique aisément : la théorie du chaos doit en effet sa popularisation aux progrès fulgurants de l’informatique à partir des années 1960-70. Cette science nouvelle a en effet rendu accessible aux non-mathématiciens la visualisation directe de l’incroyable complexité de ces systèmes dynamiques, auparavant réservée aux seuls « initiés » capables d’absorber le formalisme mathématique idoine.
    À titre d’illustration, la figure ci-contre est un exemple typique d’images produites par la théorie du chaos ; il s’agit ici d’un objet géométrique découvert par Lorenz en 1963, et initialement baptisé « attracteur étrange » à la suite de l’introduction de ce concept par David Ruelle et Floris Takens5. (Cet objet sera commenté plus bas, au paragraphe : Lorenz et la météorologie.)

La théorie du chaos est une véritable théorie scientifique. Elle repose sur la représentation des solutions des équations différentielles dans l’espace des phases associé : représenter les solutions sous forme de trajectoire dans l’espace plutôt que l’une des variables en fonction du temps permet de révéler la structure sous-jacente : c’est ce qui conduit à affirmer que la théorie du chaos contribue à « trouver de l’ordre caché sous un désordre apparent. »6. L’attracteur de Lorenz précédemment représenté est un exemple d’une évolution d’un système dans l’espace des phases. Au déterminisme laplacien permettant la prédiction sur des temps arbitrairement longs a succédé un déterminisme de nature fondamentalement différente. Il peut être approché de manière probabiliste7 et alors caractérisé par l’existence d’invariants prenant la forme de mesures de probabilités, de dimension fractale… ou par une description topologique des attracteurs8. Toutes les sciences, y compris sociales, sont concernées9,10,11,12 par ce changement de paradigme ; en particulier, cette théorie peut inclure l’organisation du vivant dans la nature13…

L’article complet est à lire sur ce site : https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_du_chaos

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Chaos quantique selon Wikipédia

Le terme « chaos quantique » désigne un champ de recherches ouvert dans les années 1970 qui est issu des succès de la théorie du chaos en dynamique hamiltonienne classique ; il tente essentiellement de répondre à la question : Quel est le comportement en mécanique quantique d’un système classiquement chaotique ?

Résultats principaux

Les recherches ont montré que :

  • il n’existe pas de « chaos quantique » au sens strict du terme, c’est-à-dire qu’il n’existe pas de divergence exponentielle des états quantiques au cours du temps dans l’espace de Hilbert qui serait l’analogue de la divergence exponentielle des orbites dans l’espace des phases classique. Cette absence de « sensibilité aux conditions initiales » en mécanique quantique est lié au fait que l’équation de Schrödinger est une équation linéaire ; c’est pourquoi Michael Berry a suggéré d’utiliser l’expression « chaologie quantique » à la place de « chaos quantique » ;
  • cependant, les systèmes physiques classiquement chaotiques présentent certaines propriétés quantiques clairement distinctes de celles des systèmes classiquement intégrables : il existe en quelque sorte des « signatures » quantiques du chaos classique sous-jacent.
    Signatures quantiques du chaos classique

Orbites périodiques et spectre d’énergie

En utilisant la formulation de Richard Feynman en intégrale de chemin de la mécanique quantique, Martin Gutzwiller1 a démontré en 1971 une relation intégrale liant à la limite semi-classique le spectre d’énergie quantique d’un système physique aux orbites périodiques classiques de ce même système. Cette relation est aujourd’hui appelée formule des traces de Gutzwiller2. Or, les orbites périodiques ont des propriétés très différentes selon que la dynamique hamiltonienne classique est intégrable ou chaotique.

Il est intéressant de remarquer qu’il existe un système physique pour lequel la formule des traces approchée de Gutzwiller est en fait exacte : c’est le flot géodésique sur une surface compacte à courbure négative constante3. Une telle surface peut se représenter comme l’espace quotient du demi-plan de Poincaré par un sous-groupe discret du groupe PSL(2,ℝ) des isométries. Cette formule exacte a été établie en 1956 par le mathématicien Atle Selberg (indépendamment de la physique et des intégrales de chemin), et est aujourd’hui appelée formule des traces de Selberg en son honneur.

Propriétés statistiques du spectre d’énergie

Les propriétés statistiques du spectre d’énergie d’un système physique classiquement chaotique sont très différentes de celle d’un système intégrable. Oriol Bohigas, Marie-Joya Giannoni et Charles Schmidt (Institut de physique nucléaire, Orsay) ont conjecturé que les propriétés des fluctuations statistiques du spectre d’énergie d’un système physique classiquement chaotique sont universelles (une fois normalisées), et bien décrites par un ensemble de matrices aléatoires qui ne dépend que des symétries du système.

Note de Wikipédia : Cet article est une ébauche concernant la physique quantique. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants. Consultez la liste des tâches à accomplir en page de discussion.

L’article complet avec notes et références est à lie sur ce site : https://fr.wikipedia.org/wiki/Chaos_quantique

Le chaos quantique existerait bien ! (Lire la bio)Auteur :Laurent Sacco Journaliste - Publié le 12/10/2009 – Document ‘futura-sciences.com’

La mécanique classique exhibe dans certaines situations des comportements chaotiques. Puisqu’elle est une approximation de la mécanique quantique, on devrait trouver dans celle-ci le signe d’un chaos. Depuis des dizaines d’années, un débat divisait plus ou moins la communauté scientifique sur cette question. Un groupe de chercheurs pense enfin avoir trouvé une preuve convaincante de l’existence du chaos dans le monde quantique.

Photo - De gauche à droite Paul Ehrenfest, son fils et Albert Einstein. Crédit : www.ilorentz.org 

Le monde dans lequel nous vivons est fondamentalement quantique et notre monde classique n’est qu’une approximation d’un Univers dans lequel n’existent vraiment ni onde ni particule au sens classique. Toutefois, depuis les travaux de Niels Bohr et Paul Ehrenfest, on savait que les lois de la physique classique étaient en correspondance avec celles de la mécanique quantique. Dans certaines limites, en général associées à un grand nombre de particules ou à un objet de taille macroscopique, les lois probabilistes de la mécanique quantique, qui rendent vide de sens la trajectoire d’une particule comme un électron à l’intérieur d’un atome ou qui lui permet d’être à deux endroits à la fois, redonnent en moyenne le comportement bien localisé dans l’espace et dans le temps des objets quotidiens.

On sait par exemple que le principe de correspondance de Bohr implique que lorsque l’on considère des électrons dans un atome sur des niveaux d’énergie à grands nombres quantiques, on débouche sur ce qu’on appelle des atomes de Rydberg. Pour l’électron situé sur ces couches hautes de l’atome, on retrouve un semblant de trajectoire sur une orbite circulaire. Cette situation particulière avait été traitée de façon générale par Paul Ehrenfest dans le premier tiers du siècle dernier. Celui-ci avait montré comment les moyennes pour les grandeurs physiques, floues et probabilistes de la mécanique quantique, tendaient vers les valeurs de la physique classique lorsque l’on passait progressivement des échelles de temps et d’espaces des atomes à celles de notre monde macroscopique.

Il y avait cependant un léger problème dont l’acuité ne se fit sentir que des dizaines d’années plus tard, lorsque l’importance des phénomènes chaotique pressentie par James Clerk Maxwell et Henri Poincaré devint de plus en plus évidente.

En effet, au bout d’un temps appelé depuis Temps d’Ehrenfest, les moyennes des positions et vitesses d’un système mécanique, plus généralement des couples de coordonnées de positions-quantité de mouvement ou angles-moment cinétique (par exemple pour une toupie), déduites des lois de la mécanique quantique, ne coïncidaient plus avec les valeurs déduites de la mécanique de Newton. Le principe de correspondance établissant un pont entre monde quantique et monde classique avait donc ses limites au-delà desquelles il s’effondrait.

A priori, cette situation n’était pas gênante car le Temps d’Ehrenfest calculé pour différents systèmes à cette époque était bien plus long que le temps associé au phénomène étudié. Le conflit avec l’expérience n’apparaissait donc jamais.

Il en fut tout autrement lorsqu’on chercha à savoir quelles étaient les prédictions de la mécanique quantique pour des systèmes mécaniques dont les équations classiques exhibaient des phénomènes chaotiques. On ne se préoccupa de cette question que dans la seconde moitié du vingtième siècle mais de façon stupéfiante Einstein avait en partie anticipé le chaos quantique dès 1917 !

Photo - Le mathématicien a été un des premiers à découvrir les phénomènes du chaos dans les systèmes dynamiques. Crédit : bibmathweb 

Selon Wikipédia, « Jacques Salomon Hadamard, né le 8 décembre 1865 à Versailles et mort le 17 octobre 1963 à Paris, est un mathématicien français, connu pour ses travaux en théorie des nombres, en analyse complexe, en analyse fonctionnelle, en géométrie différentielle et en théorie des équations aux dérivées partielles1… » - Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Jacques_Hadamard

Le chaos retrouvé partout

Les années 1960 et surtout 1970, avec le boum des simulations numériques, montrèrent que les phénomènes déjà compris par des mathématiciens comme Poincaré et Hadamard étaient en fait bien plus répandus qu’on ne le croyait. Comme le météorologue Lorenz le découvrit, de petites différences de conditions initiales dans l’état de l’atmosphère conduisaient rapidement à une divergence des prédictions climatiques dans des modèles simplifiés sur ordinateur.

Cette sensibilité extrême aux conditions initiales et la complexité des mouvements résultants, même pour des systèmes simples, devinrent la marque de ce qu’on allait appeler le chaos. Pendant les années 1980, cette nouveauté envahit presque toutes les disciplines, des battements du cœur au fonctionnement du cerveau en passant par les marchés boursiers, les mouvements des planètes et des étoiles ou encore l’état de l’espace-temps lorsqu’on s’approche d’un singularité en formation au cœur d’un trou noir ou juste après le Big Bang.

L’apparition du chaos dans les équations de la physique classique est étroitement liée au fait que l’on rencontre des équations non linéaires. Or, l’équation fondamentale de la physique quantique, l’équation de Schrödinger, est linéaire. Le chaos ne devait pas devoir apparaître à son niveau. Toutefois, lorsque l’on considère d’autres formes des équations de la mécanique quantique, celles faisant intervenir des matrices, le chaos pouvait peut-être s’y révéler.

La mécanique classique étant une approximation de la mécanique quantique, le chaos devait être présent dans cette dernière mais, on l’a vu, cela ne pouvait pas l’être sous la même forme que dans le sens classique. Pendant des dizaines d’années un débat a divisé les physiciens sur le sens exact à donner à la notion de chaos, et en particulier en mécanique quantique.

Selon la définition qu’on en donnait, le chaos était ou n’était pas présent en physique quantique mais alors un problème important se profilait à l’horizon. Si les équations quantiques s’obstinaient à ne pas prédire du chaos alors soit ce dernier était une illusion dans les systèmes classiques, ce qui semblait difficile à avaler, soit ce devait être les équations de la mécanique quantique elles-mêmes qui devaient être fausses !

On pouvait par exemple imaginer qu’il devait exister une version non linéaire de l’équation de Schrödinger et certains ne s’en privaient pas depuis longtemps pour résoudre des problèmes comme le célèbre paradoxe du chat de Schrödinger.

Le problème le plus préoccupant était que lorsque l’on considérait le principe de correspondance établi par Ehrenfest dans le cas de systèmes chaotique, le Temps d’Ehrenfest devenait beaucoup plus court et là le conflit avec l’expérience était net. L’exemple le plus souvent cité est celui d’Hypérion, un satellite de Saturne possédant une rotation propre chaotique. Seulement 15 années suffiraient pour que le désaccord prédit par les lois quantiques soit visible. De nos jours, on pense que ce problème est réglé par le phénomène de décohérence, tout comme dans le cas du chat de Schrödinger.

Reste que, on le voit, la question de l’apparition du chaos quantique est importante et on constate toujours dans la littérature des divisions entre les auteurs.

Photo - Le physicien Poul Jessen devant l’expérience montrant l’existence du chaos quantique. Crédit : Lori Stiles 

Une toupie réduite à un atome

Une nouvelle expérience semble pourtant montrer que le chaos quantique existe. Elle résulte des travaux menés depuis quelques années par le physicien Poul Jessen et ses collaborateur du UA’s College of Optical Sciences de l’Université de l’Arizona.

Pour obtenir ce résultat, les chercheurs ont considéré l’équivalent quantique d’une toupie perturbée par une série de chocs légers et dont le comportement est connu comme étant chaotique dans le monde classique. La toupie quantique est dans le cas présent un atome de césium dont le moment cinétique résulte d’un couplage entre celui d’un de ses électrons et celui du noyau. L’ensemble possède un moment magnétique et se comporte donc aussi comme un petit aimant.

Après des années de travail, les physiciens sont parvenus à manipuler l’axe de rotation de cette toupie quantique aimantée. Il faut d’abord refroidir suffisamment les atomes de césium avec des faisceaux lasers et ensuite est apliquée une série d’impulsions magnétiques correspondant à des petits chocs sur l’équivalent classique de la toupie. D’autres perturbations induites par le champ électrique variable d’un faisceau laser dans le domaine optique modifient elles aussi l’état d’orientation de la toupie quantique.

Après chaque cycle de perturbations magnétiques et électriques, une technique analogue à la tomographie médicale permet de mesurer l’orientation résultante de l’axe de la toupie et donc d’en déduire les mouvementsau cours du temps. Non seulement le comportement observé est bien chaotique mais la transition entre le régime où le système classique ne se comporte pas comme un système chaotique et celle où il le devient se retrouve à la même place dans son analogue quantique.

Cette expérience semble donc bien démontrer qu’il n’y a pas besoin de changer les lois fondamentales de la mécanique quantique et que la connexion entre le monde quantique et le monde classique s’effectue sans contradiction entre les théories les décrivant.

Remarquablement, Jessen et ses collègues font remonter l’apparition du chaos dans ce système à l’établissement d’une intrication quantique entre le moment cinétique de l’électron de l’atome de césium et le moment cinétique de son noyau. L’intrication est importante en physique quantique car elle est à la racine de l’effet EPR et de tout ce qui tourne autour de la notion d’information et d’ordinateur quantique.

Un article publié dans Nature expose les résultats de l’expérience mais on peut trouver sur Arxiv un article plus ancien à ce sujet, libre d’accès.

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Quantum signatures of chaos in a kicked top

Chaos, entanglement and decoherence in the quantum kicked top

A Rough Guide to Quantum Chaos

Introduction au chaos quantique

Futura, Explorer le monde

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Source : https://www.futura-sciences.com/sciences/actualites/physique-chaos-quantique-existerait-bien-20764/

Le chaos quantique mieux compris Par Philippe Ribeau-Gésippe| 30 novembre 1999| POUR LA SCIENCE N° 374

La conjecture d’ergodicité quantique unique, qui prédit le comportement des systèmes chaotiques quantiques, est en partie résolue.

Comment se comportent les systèmes chaotiques – très sensibles aux conditions initiales – lorsqu’ils sont transposés de la physique classique à l’univers quantique, où les particules ponctuelles cèdent la place aux fonctions d’onde ? K. Soundararajan, de l’Université de Stanford, et Roman Holowinsky, de l’Université de Toronto, ont fait un pas en avant vers la résolution d’une importante conjecture de ce domaine, dit du chaos quantique ; il s’agit de la conjecture d’ergodicité quantique unique, formulée au début des années 1990.

Un exemple type de système de chaos quantique est le billard quantique. En mécanique classique, la trajectoire d’une bille idéale lancée sur une table de billard rectangulaire est facile à décrire et à prévoir rebond après rebond. Toutefois, lorsque les coins du billard sont arrondis, le mouvement de la bille devient vite imprévisible au fil des rebonds : ce système est chaotique. En outre, il est ergodique, c’est-à-dire que la bille parcourt toute la surface du billard et passe autant de temps dans chaque région. Il existe néanmoins des trajectoires périodiques, par exemple si la bille est lancée perpendiculairement à un bord.

Dans la version quantique du problème, on étudie non plus le comportement d’une bille, mais celui d’ondes stationnaires, correspondant aux états propres d’énergie d’une particule quantique en mouvement à l’intérieur du billard. Dans les systèmes quantiques non ergodiques, ces ondes se concentrent dans certaines zones. En revanche, on a montré que dans les systèmes ergodiques quantiques, la plupart des états propres s’étalent de façon uniforme dans le domaine considéré.

Mais est-ce vrai pour tous les modes et pour toutes les surfaces ? En d’autres termes, existe-t-il un analogue des trajectoires périodiques classiques dans les systèmes ergodiques quantiques ? Des simulations numériques de billard chaotique quantique vont dans ce sens : certains modes stationnaires se concentrent le long des trajectoires périodiques du système classique correspondant, un phénomène connu sous le nom de « cicatrices ».

Cependant, en 1991, Peter Sarnak et Zeev Rudnik ont conjecturé que dans les systèmes quantiques analogues au billard, mais sur des surfaces ou d’autres espaces à courbure négative (une surface en « selle de cheval » en est un exemple), les états propres sont toujours uniformément distribués, en d’autres termes, ces systèmes sont « uniquement ergodiques ».

C’est cette conjecture qu’ont résolue R. Holowinsky et K. Soundararajan pour une classe générale de surfaces, par deux approches différentes, mais complémentaires. La structure particulière des systèmes qu’ils ont étudiés leur a permis d’utiliser des techniques issues de la théorie des nombres, une branche des mathématiques pures qui a révélé ces dernières décennies des connexions inattendues avec la physique.

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