"Histoire de Phi - Partie 1 : Les mathématiques" par la Dr Mae-Wan Ho

ISIAS Série Phi Partie 1 

Sciences des organismes vivants - Histoire de Phi - Partie 1 : Les mathématiques

Traduction du 14 décembre 2020 par Jacques Hallard d’un Rapport de l’ISIS en date du 03/03/2014 : Une non-mathématicienne décrit son initiation aux secrets du nombre d’or magique situé au cœur des mathématiques, et la façon dont ce nombre se retrouve dans le monde physique et dans le vivant. Dr Mae-Wan Ho

Une version entièrement référencée et illustrée de cet article intitulé Science of the Organism The Story of Phi Part 1 : The mathematics avait été publiée et accessible par les membres de l’ISIS sur le site http://www.i-sis.org.uk/The_Story_of_Phi-Part_1.php

La proportion d’or ou le rapport parfait

La proportion d’or (aussi désignée comme un rapport d’or) est un nombre irrationnel, qui est impossible à exprimer en une fraction simple ; il est le plus irrationnel de tous les nombres irrationnels, car il ne peut même pas être approché comme une fraction simple.

Pourtant, il s’avère être un peu partout dans la nature : des liaisons chimiques dans les molécules jusqu’aux ramifications des arbres, et depuis les galaxies spiralées jusqu’à la réalité fondamentale quantique ; il est intégré dans nos ondes cérébrales, dans la musique, et bien sûr, il est au cœur des mathématiques.

La valeur numérique de phi est 0,6180339...(une suite infinie) et elle est la solution à un problème qui semble très simple.

Supposons que vous ayez une ligne de n’importe quelle longueur, disons 1. Vous pouvez la diviser de façon inégale, de sorte que le rapport du plus grand segment sur l’ensemble, 1, soit exactement le même que le rapport du petit segment sur le plus grand (figure 1).

The_Story_of_Phi-Part_1_1

Figure 1 – Proportion d’or, rapport parfait, [ ‘divine proportion’ ]

De la figure 1, nous obtenons ce qui suit :

f /1 = (1 - f) / f
f 2 = 1 - f
f 2 + f = 1
f 2 + f - 1 = 0 (1)

La résolution de l’équation (1) pour f avec la formule quadratique dans l’algèbre de base donne :

f = (√ 5 -1) / 2 = 0,6180339887 ...

L’inverse de phi, représenté par la même lettre que f en capitale (Phi) est également souvent désigné comme le nombre d’or, et est égal à :

1 / f = f = (√5 +1) / 2 = 1,6180339887 ... = 1 + f

Étonnamment, précisément les mêmes nombres se produisent dans les deux suites de chiffres après la virgule. Non seulement cela, mais f au carré donne 2 plus exactement, les mêmes chiffres après la virgule :

f 2 = 2,6180339887 ..... = 2 + f

Je vous laisse faire plus de sommes et travailler sur les autres merveilles de phi.

Le rapport parfait est basé sur le nombre d’or. Il donne l’auto-similarité ou la récursivité à des échelles successives, et il est considéré comme la marque de la beauté et de l’équilibre dans les arts et dans l’architecture. Surtout, phi a une foule de propriétés magiques qui ont intéressé des générations de mystiques et de scientifiques, à commencer par les anciens bâtisseurs des pyramides égyptiennes, qui auraient suivi les ancêtres antérieurs de cette connaissance ésotérique, maintenant perdues dans la nuit des temps. La plupart de ce qui est connu dans les temps modernes nous est parvenu par le philosophe mathématicien grec Pythagore (environ 570 et 495 avant notre ère) et par le mathématicien Euclide (323-283 avant notre ère).

Et je suis parmi les derniers à en être frappée : en tant que scientifique, je suis beaucoup moins intéressée par la numérologie que par ce phi qui nous parle de la structure même de la nature et des processus naturels. Mais ce phi va contribuer à étoffer l’image mathématique avant de se trouver impliqué dans des processus naturels et dans la nature elle-même.

La séquence de Fibonacci et la reproduction idéalisée des lapins d’élevage

La suite de Fibonacci est une séquence de nombres commençant par 1, 1, etc… ou 0, 1, etc… et dans laquelle les nombres successifs correspondent à la somme des deux précédents :

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

La séquence a été nommée d’après le mathématicien italien Leonardo Fibonacci ( 1170-1250) qui l’a obtenue au cours de ses voyages étendus autour des mathématiques indiennes [5].

Fibonacci avait considéré la croissance d’une population de lapins qui n’était pas biologiquement réaliste, en supposant que deux nouveau-nés de lapins, un mâle et une femelle, sont capables de s’accoupler à l’âge d’un mois, de sorte que la femelle pouvait produire une nouvelle paire de lapins (un mâle et une femelle) à la fin du deuxième mois, et que la même chose pouvait se produire par la suite au cours des mois suivants, et en supposant qu’il n’y avait pas de mortalité précoce chez les lapins. La question posée était la suivante : combien y aurait-il de lapins à la fin de l’année ?

A partir d’une seule paire de la séquence d’événements suivante se déroule pour constituer la population des lapins.

A la fin du premier mois, les lapins s’accouplent, mais il n’y en a encore qu’une seule paire.

Au deuxième mois, la femelle donne naissance à une nouvelle paire : il y a donc deux paires de lapins.

A la fin du troisième mois, la femelle originale donne naissance à une deuxième paire, et cela fait donc 3 paires de lapins.

A la fin du quatrième mois, la femelle initiale produit une troisième paire, mais la première paire de sa progéniture aura également produit sa première paire de progéniture, soit un total de cinq (figure 2).

A la fin du nème mois, le nombre de paires de lapins est égal au nombre de nouveaux couples (le nombre de paires dans le mois n-2), plus le nombre de paires vivantes du dernier mois (n-1). Ceci est le nème nombre de la suite de Fibonacci :

Fn = Fn-1 + Fn-2. (2)

Figure 2 – La croissance d’une population imaginaire de lapins suit la séquence dite suite de Fibonacci [4]

C’st Johannes Kepler [1571-1630, selon Wikipédia] qui a montré que la proportion d’or est la limite du rapport des nombres consécutifs de la suite de Fibonacci.

[Selon Wikipédia, Johannes Kepler un astronome célèbre pour avoir étudié l’hypothèse héliocentrique de Nicolas Copernic, affirmant que la Terre tourne autour du Soleil et surtout pour avoir découvert que les planètes ne tournent pas autour du Soleil en suivant des trajectoires circulaires parfaites mais des trajectoires elliptiques…]

En d’autres termes, le rapport des nombres successifs se rapprochent de la valeur de la proportion d’or, au fur et à mesure que la séquence se poursuit à l’infini. Maintenant, nous ne savons toujours pas pourquoi phi est le plus irrationnel de tous les nombres irrationnels.

La spirale d’or d’après Fibonacci

La relation entre la suite de Fibonacci et le nombre d’or est vérifiée lors de la croissance sur une longue durée et fait l’objet d’une corrélation qui est observée dans les spirales de la figure 3 [5]. Comme la spirale devient de plus en plus grande, elle devient de plus en plus semblable à la spirale d’or, dont une version est construite à partir d’un rectangle d’or initial divisé en carrés (voir la figure 4 ci-après).

Figure 3 - Un quadrillage en spirale avec des carrés dont les longueurs des côtés sont des nombres de Fibonacci successifs ; le schéma utilise les carrés de tailles 1, 1, 2, 3, 4, 8, 13, 21, et 34, et trace le cercle qui s’inscrit dans les carrés ; il se rapproche de la spirale d’or de plus en plus lorsque que les nombres de la suite de Fibonacci deviennent de plus en plus grands.

Figure 4 - Une spirale d’or construite en divisant un rectangle d’or initial en carrés (à gauche) et la coupe de la coquille d’un Nautilus [des céphalopodes tétrabranchiaux marins] (à droite).

La spirale de Fibonacci et la spirale d’or se rapprochent toutes deux d’une spirale logarithmique, mais elles ne sont pas réellement une spirale logarithmique, et en mathématiques, même la spirale d’or n’est pas considérée comme la véritable spirale d’or.

Une spirale d’or réelle est une spirale logarithmique dont le facteur de croissance est Phi. Elle devient de plus en plus grande et éloignée de son origine par un facteur de f pour chaque quart de tour ou angle de 90° [6]. L’équation en coordonnée polaire (circulaire) d’une spirale logarithmique est :

r = aeb q (3)

où r est le rayon, e est la base du logarithme naturel, a est une constante positive arbitraire, b est le facteur de croissance et q est la valeur de l’angle parcouru. Pour la spirale d’or, le nombre d’or sur vient quand q est un angle droit : eb q = f.

Donc, finalement, la vraie spirale d’or n’est pas strictement une spirale logarithmique, car la croissance entre les angles droits est interpolée. La coquille de Nautilus (sur la figure 4 à droite) est constituée par des chambres successives et se développe en fonction de la spirale logarithmique, mais par un facteur de la proportion ou rapport d’or. Pour chaque tour complet de l’hélice, au lieu d’un quart de tour seulement.

[D’après Wikipédia, « Le logarithme naturel ou logarithme népérien, ou encore logarithme hyperbolique jusqu’au XXe siècle, transforme, comme les autres fonctions logarithmes, les produits en sommes. L’utilisation de telles fonctions permet de faciliter les calculs comprenant de nombreuses multiplications, divisions et élévations à des puissances rationnelles. Il est souvent noté ln(). Le logarithme naturel ou népérien est dit de base e car ln(e) = 1. Le logarithme népérien d’un nombre x peut également être défini comme la puissance à laquelle il faut élever e pour obtenir x. La fonction logarithme népérien est donc la bijection réciproque de la fonction exponentielle. C’est également la primitive définie sur les réels strictement positifs et qui s’annule en 1 de la fonction inverse x ↦ 1/x. Cette fonction fut notée l. ou l, dès le début du XVIIIe siècle1, et jusque dans la première moitié du XIXe siècle2, puis log.3 ou log4 dès la fin du XVIIIe siècle, puis Log pour la différencier de la fonction log (logarithme de base quelconque, ou plus particulièrement logarithme décimal)5, ou encore logh (« logarithme hyperbolique »)6, avant que ne tente de s’imposer la notation préconisée par les normes AFNOR de 19617 et ISO 80000-28 : la notation ln. Avec un succès cependant très relatif : la notation log est encore aujourd’hui utilisée dans plusieurs branches des mathématiques, et tout particulièrement en théorie des nombres9, ainsi que dans plusieurs langages de programmation, comme C, C++, SAS, R, MATLAB, Mathematica, Fortran, et BASIC… -

Logarithme neperien.svg

Courbe représentative de la fonction n -> ln nx ↦ ln ⁡ x \displaystyle x\mapsto \ln x

.

Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Logarithme_naturel

Le pavage ou carrelage de Penrose et les quasi-cristaux

Le problème de carrelage est de couvrir complètement une surface, comme vous le feriez avec des tuiles ou des carreaux, et le nombre d’or est une clé du problème, surtout si vous voulez des modèles intéressants qui ne sont pas seulement basés sur des carrés.

Le motif du carrelage se fait facilement avec des carrés (formé de 4 côtés), ou des triangles ou encore des hexagones (à 3 et 6 côtés). Mais on a longtemps cru qu’il était impossible de remplir une surface avec des objets à 5 côtés (tuiles ou carreaux), c’est-à-dire des pentagones.

Au début des années 1970, le physicien et mathématicien britannique Sir Roger Penrose avait découvert qu’une surface pouvait être complètement recouverte d’une manière asymétrique, non répétée, et esthétiquement très agréable, avec seulement deux carreaux de différentes formes dérivées d’un pentagone [7].

La figure 5 en montre deux variantes. Vous pouvez retourner les carreaux et obtenir de nombreux autres modèles.

Figure 5 – Le pavage de Penrose basé sur le pentagone et le nombre d’or (réarrangé à partir de [4])

Le pentagone n’incarne pas seulement le nombre d’or : le pavage ainsi obtenu a aussi un une proportion ou rapport d’or de la zone couverte par un type de carreaux ou un autre.

Une symétrie de type 5 est particulièrement fréquente dans les organismes vivants, et elle existe aussi dans le monde enchanteur des quasi-cristaux, mais elle est absente des (‘vrais’] cristaux (voir [8] Golden Mean Wins Chemistry Nobel Prize, SiS 52)*.

[* Version en français : « Le prix Nobel de chimie 2011 a été attribué au nombre d’or ! » par le Dr Mae-Wan Ho. Traduction et compléments de Jacques Hallard, dimanche 15 janvier 2012 - ISIS Chimie. « La structure d’un quasi-cristal, basée sur le nombre d’or, a fait que Daniel Shechtman a remporté le Prix Nobel de Chimie 2011 ; le Dr Mae-Wan Ho découvre pourquoi cette structure à quelque chose à voir avec la beauté ». Article à découvrir sur le site suivant : http://www.isias.lautre.net/spip.php?article202 ].

Dans la suite de cette série d’articles, dénommée à la suite « Série Phi Nombre d’or », nous explorerons comment le nombre d’or est littéralement tissé dans la manifestation de la vie et dans tout l’univers.

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Traduction, inclusion de compléments, des figures et des liens hypertextes donnant accès à des informations détaillées : Jacques Hallard, Ing. CNAM, consultant indépendant. Relecture et corrections : Christiane Hallard-Lauffenburger, professeure des écoles. Adresse : 585 Chemin du Malpas 13940 Mollégès France

Site ISIAS : http://isias.lautre.net/ - Courriel : jacques.hallard921@orange.fr

Fichier : ISIAS Série Phi Partie 1 version 3

Mis en ligne par le co-rédacteur Pascal Paquin du site inter-associatif, coopératif, gratuit, sans publicité, indépendant de tout parti, géré par Yonne Lautre : https://yonnelautre.fr - Pour s’inscrire à nos lettres d’info > https://yonnelautre.fr/spip.php?breve103

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