"Des mathématiciens ont enfin découvert un motif géométrique ’de type enstein’ qui ne se répète jamais avec une forme à 13 côtés appelée ’le chapeau’" par Emily Conover

ISIAS Mathématiques Tuiles einstein

Des mathématiciens ont enfin découvert un motif géométrique ’de type enstein’ qui ne se répète jamais avec une forme à 13 côtés appelée ’le chapeau’

Traduction du 12 avril 2023 par Jacques Hallard d’un article d’Emily Conover en date du 24 mars 2023 à 7h00, publié par ‘sciencenews.org’ sous le titre Mathematicians have finally discovered an elusive ‘einstein’ tile  ; référence : https://www.sciencenews.org/article/mathematicians-discovered-einstein-tile

An image of several dark blue, gray, white, and light blue, 13-sided tiles interconnected.

Une tuile à 13 côtés appelée ’le chapeau’ forme un motif qui recouvre un plan infini mais ne peut pas se répéter, ce qui en fait une forme recherchée depuis longtemps connue sous le nom de “einstein’ dont un échantillon de ce modèle est montré ci-dessus. D. Smith, J. S. Myers, C.S. Kaplan et C. Goodman-Strauss (sous licence CC BY 4.0)…

C’est le premier véritable exemple de motif ”de type einstein”, une forme unique qui forme un carrelage spécial sur un plan : Comme le carrelage d’une salle de bain, il peut couvrir toute une surface sans interstices ni chevauchements, mais uniquement avec un motif qui ne se répète jamais.

“Tout le monde est étonné et ravi …. déclare la mathématicienne Marjorie Senechal du ‘Smith College de Northampton’, Mass. aux Etats-Unis, qui n’était pas impliquée dans la découverte. Les mathématiciens cherchaient une telle forme depuis un demi-siècle. “Il n’était même pas clair qu’une telle chose puisse exister”, dit Marjorie Sénéchal.

[Marjorie Lee Senechal, née Wikler en 1939, est une mathématicienne américaine et historienne des sciences, Louise Wolff Kahn Professeur émérite de mathématiques et d’histoire des sciences et de la technologie au Smith College et rédactrice en chef de The Mathematical Intelligencer. Wikipédia ]

Bien que le nom “einstein” évoque le physicien emblématique Einstein, il vient de l’allemand ein Stein, qui signifie “une pierre”, en référence à une tuile unique en son genre. L’einstein se trouve dans un étrange entre-deux, entre ordre et désordre. Bien que les carreaux s’emboîtent parfaitement et puissent couvrir un plan infini, ils sont apériodiques, ce qui signifie qu’ils ne peuvent jamais former un motif qui se répète.

[Albert Einstein né le 14 mars 1879 à Ulm, dans le Wurtemberg, et mort le 18 avril 1955 à Princeton, dans le New Jersey, est un physicien théoricien. Il fut successivement allemand, apatride, suisse et de double nationalité helvético-américaine. Il épousa Mileva Marić, puis sa cousine Elsa Einstein. Wikipédia ]

Avec un motif périodique, il est possible de déplacer les carreaux et de les faire correspondre parfaitement à leur disposition précédente. Un damier infini, par exemple, a la même apparence si vous faites glisser les rangées par deux. Bien qu’il soit possible de disposer d’autres carreaux simples dans des motifs qui ne sont pas périodiques, le chapeau est spécial car il n’y a aucun moyen de créer un motif périodique.

An image of a ’hat’ which is made up of eight dark gray, small, kite shapes.

Le ’chapeau’ (un surligné) est un polygone composé de huit formes de cerf-volant plus petites (lignes gris foncé). D. Smith et ses collaborateurs / arXiv. org 2023

Identifié par David Smith, un mathématicien non professionnel qui se décrit comme un ’bricoleur imaginatif de formes’, et rapporté dans un article mis en ligne le 20 mars 2023 sur ‘arXiv.org’, le chapeau est un ‘polykite’ — un tas de formes de cerf-volant plus petites collées ensemble. C’est un type de forme qui n’avait pas été étudié de près dans la recherche d’einstein, explique Chaim Goodman-Strauss du ‘National Museum of Mathematics’ de New York, l’un des membres d’un groupe de mathématiciens et d’informaticiens formés avec lesquels Smith s’est associé pour étudier le chapeau.

[Traduit de l’anglais- Chaim Goodman-Strauss est un mathématicien américain qui travaille sur la géométrie convexe, en particulier le pavage apériodique. Il fait partie de la faculté de l’Université de l’Arkansas et est co-auteur avec John H. Conway de ‘The Symmetries of Things’, un livre complet sur la théorie mathématique des modèles. Wikipédia (anglais) – Source ]

C’est un polygone étonnamment simple. Avant ce travail, si vous aviez demandé à quoi ressemblerait un einstein, dit Goodman-Strauss : ’ J’aurais dessiné une chose folle, ondulée et méchante”.

Les mathématiciens connaissaient auparavant des pavages non répétés qui impliquaient plusieurs tuiles de formes différentes. Dans les années 1970, le mathématicien Roger Penrose avait découvert que seulement deux formes différentes formaient un carrelage qui n’est pas périodique (SN : 3/1/07). À partir de là, “Il était naturel de se demander, pourrait-il y avoir une seule tuile qui fait cela ?’ dit le mathématicien Casey Mann de l’Université de Bothell, Washington, qui n’a pas participé à la recherche. Celui-là a finalement été trouvé, “c’est énorme”.

[Roger Penrose, né le 8 août 1931 à Colchester, est un mathématicien, cosmologiste et philosophe des sciences britannique. Wikipédia ]

[Traduit de l’anglais - Casey Mann est un mathématicien américain, spécialisé dans la géométrie discrète et computationnelle, en particulier la tessellation et la théorie des nœuds. Il est professeur de mathématiques à l’Université de Washington Bothell et a obtenu son doctorat à l’Université de l’Arkansas en 2001. Wikipédia (anglais) ]

Les tuiles Taylor-Socolar sont les formes mathématiques les plus proches d’un “einstein’, une seule tuile qui forme un motif qui ne se répète jamais. Mais les tuiles Taylor-Socolar ont des pièces déconnectées (illustrées ci-dessus)), étirant la définition d’une tuile. Taxe Parcly / Wikimédia Commons (CC BY-SA 4.0)

D’autres formes se sont rapprochées. Les carreaux Taylor-Socolar sont apériodiques, mais ils sont un fouillis de plusieurs pièces déconnectées — pas ce que la plupart des gens considèrent comme une seule tuile. “C’est la première solution sans astérisques”, explique le mathématicien Michaël Rao du CNRS et de l’École Normale Supérieure de Lyon en France.

Smith et ses collègues ont prouvé que la tuile était un einstein de deux manières. L’un est venu de la remarque que les chapeaux s’organisent en groupes plus grands, appelés métatiles. Ces métatiles s’organisent ensuite en supertiles encore plus grands, et ainsi de suite indéfiniment, dans un type de structure hiérarchique qui est commun pour les pavages qui ne sont pas périodiques. Cette approche a révélé que le pavage du chapeau pouvait remplir tout un plan infini et que son motif ne se répéterait pas.

La deuxième preuve reposait sur le fait que le chapeau fait partie d’un continuum de formes : en changeant progressivement les longueurs relatives des côtés du chapeau, les mathématiciens ont pu former une famille de carreaux pouvant prendre le même motif non répétitif. En considérant les tailles et les formes relatives des tuiles aux extrémités de cette famille — l’une en forme de chevron et l’autre rappelant une comète — l’équipe a pu montrer que le chapeau ne pouvait pas être disposé de manière périodique.

Les mathématiciens ont trouvé le premier véritable ’enstein’, une forme en forme de chapeau qui peut être carrelée pour couvrir un plan infini, mais avec un motif qui ne peut pas se répéter. Le chapeau fait partie d’une famille de carreaux apparentés avec de nombreuses formes différentes.

Dans cette vidéo, https://www.youtube.com/watch?v=ugnvucpcfPA les chapeaux se transforment en ces différentes formes. En comparant les formes aux extrêmes de cette famille, l’une en forme de chevron et l’autre rappelant une comète, les chercheurs ont pu montrer que le chapeau ne pouvait pas former un motif qui se répète.

Bien que le document n’ait pas encore été examiné par des pairs, les experts interrogés pour cet article conviennent que le résultat semble susceptible de résister à un examen approfondi.

Les modèles non répétitifs peuvent avoir des connexions dans le monde réel. Le scientifique en matériaux Dan Shechtman a remporté le prix Nobel de chimie 2011 pour sa découverte des quasi-cristaux, des matériaux avec des atomes disposés dans une structure ordonnée qui ne se répète jamais, souvent décrits comme des analogues des pavages de Penrose (SN : 10/5/11). La nouvelle tuile apériodique pourrait déclencher de nouvelles recherches en science des matériaux, dit Senechal.

[Dan Shechtman דן שכטמן

Description de cette image, également commentée ci-après

Dan Shechtman lors d’une conférence de presse en 2011.

Données clés
Naissance	24 janvier 1941 (82 ans) Tel Aviv (Israël)
Nationalité	Drapeau d’Israël Israélien

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5d/Quasicrystal1.jpg/220px-Quasicrystal1.jpg

Modèle atomique de l’alliage Ag-Al quasi-cristallin.

Dan Shechtman (דן שכטמן en hébreu), né le 24 janvier 1941 à Tel Aviv, est un scientifique israélien, Prix Nobel de chimie 20111 pour sa découverte des quasi-cristaux.

Biographie

Carrière scientifique

Le matin du 8 avril 19822, Dan Shechtman, alors chercheur invité pour deux ans au National Bureau of Standards (NBS actuellement National Institute of Standards and Technology, NIST), découvre un alliage métallique dans lequel « les atomes étaient assemblés dans un modèle qui ne pouvait pas être répété », contrairement aux lois jusqu’alors admises de la nature. Cette découverte appelée quasi-cristaux correspond « aux fascinantes mosaïques du monde arabe reproduites au niveau des atomes : une forme régulière qui ne se répète jamais »3. Sa découverte n’est pas tout de suite admise par ses collègues. Elle est « incomprise et combattue pendant plus de deux ans2. » De retour à Haifa, il élabore un premier modèle de verre icosahédrique avec son collègue Ilan Blech mais n’arrive pas à le faire publier.

En 1984, de retour au NBS, son travail attire l’attention de John Cahn. En compagnie de Denis Gratias (actuellement chercheur au LEM/ONERA), ils s’assurent de la possibilité de l’existence d’une structure non périodique mais présentant un ordre à longue distance. Avec Ilan Blech, ils rédigent l’article fondateur de la découverte des quasi-cristaux en se concentrant sur les faits expérimentaux. Outre ces quatre auteurs, l’article cite la contribution de Frank Biancaniello (pour la préparation de l’alliage) et Camden R. Hubbard (pour les expériences de diffraction X). Depuis cette date, de très nombreuses études s’engagent pour mieux comprendre la structure des quasi-cristaux ainsi que leurs propriétés. En 1987, des chercheurs français et japonais confirment sa découverte et, en 2009, des quasi-cristaux d’icosahédrite sont même découverts dans une météorite tombée en Russie4. Dan Shechtman est professeur émérite au Technion, l’Institut de technologie d’Israël à Haïfa.

Candidature à la présidence de l’État d’Israël - Article détaillé : Élection présidentielle israélienne de 2014.

Le 17 janvier 2014, lors d’un entretien accordé à la chaîne Aroutz 1, Dan Shechtman indique qu’il souhaite être candidat à la présidence de l’État d’Israël pour briguer la succession de Shimon Peres5. Sa candidature est finalement admise puisque étant conforme aux conditions requises par la Knesset6. Le 10 juin suivant, jour de l’élection, en dépit de son prestige et d’un soutien relatif de l’opinion publique à sa candidature, le scientifique ne reçoit cependant qu’une seule voix à l’issue du premier tour ; c’est le plus faible résultat recueilli par un candidat à la magistrature suprême de l’État hébreu… - Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Dan_Shechtman ]

Suite de l’article traduit

Des carrelages similaires ont inspiré des artistes, et le chapeau ne semble pas faire exception. Déjà le carrelage a été rendu artistiquement sous la forme de tortues souriantes et d’un fouillis de chemises et de chapeaux. Vraisemblablement, ce n’est qu’une question de temps avant que quelqu’un pose des carreaux de chapeau sur un autre chapeau.

Et le chapeau n’est pas la fin. Les chercheurs devraient poursuivre la recherche d’einstein supplémentaires, déclare l’informaticien Craig Kaplan de l’Université de Waterloo au Canada, coauteur de l’étude. ’Maintenant que nous avons déverrouillé la porte, j’espère que d’autres nouvelles formes viendront”.

Citation :

D. Smith et al. An aperiodic monotile. arXiv:2303.10798. Submitted March 20, 2023.

Emily Conover

About Emily Conover E-mailTwitter- Physics writer Emily Conover has a Ph.D. in physics from the University of Chicago. She is a two-time winner of the D.C. Science Writers’ Association Newsbrief award.

À propos d’Emily Conover : elle est rédactrice en physique, titulaire d’un doctorat en physique de l’université de Chicago. Elle a remporté deux fois le prix Newsbrief de l’Association des rédacteurs scientifiques du district de Columbia.

Cet article a été soutenu par des lecteurs comme vous. Notre mission est de fournir au public des informations scientifiques précises et attrayantes. Cette mission n’a jamais été aussi importante qu’aujourd’hui. En tant qu’organisme d’information à but non lucratif, nous ne pouvons pas le faire sans vous. Votre soutien nous permet de maintenir notre contenu gratuit et accessible à la prochaine génération de scientifiques et d’ingénieurs. Investissez dans un journalisme scientifique de qualité en faisant un don aujourd’hui. >>> Donate Now

https://www.sciencenews.org/wp-content/uploads/2022/11/cards-330x66.png

https://www.sciencenews.org/wp-content/uploads/2019/08/sn-fallback.png

Les articles étiquetés « PENROSE » et postés sur ISIAS sont à retrouver à partir de ce site : https://isias.info/spip.php?page=recherche&recherche=penrose

Retour au début du dossier

Collecte de documents et agencement, traduction, [compléments] et intégration de liens hypertextes par Jacques HALLARD, Ingénieur CNAM, consultant indépendant – 13
/04/2023

Site ISIAS = Introduire les Sciences et les Intégrer dans des Alternatives Sociétales

Site : https://isias.info/

Adresse : 585 Chemin du Malpas 13940 Mollégès France

Courriel : jacques.hallard921@orange.fr

Fichier : ISIAS Mathématiques Tuiles einstein.3.docx

Mis en ligne par le co-rédacteur Pascal Paquin du site inter-associatif, coopératif, gratuit, sans publicité, indépendant de tout parti, un site sans Facebook, Google+ ou autres GAFA, sans mouchard, sans cookie tracker, sans fichage, un site entièrement géré sous Linux et avec l’électricité d’Énercoop , géré par Yonne Lautre : https://yonnelautre.fr - Pour s’inscrire à nos lettres d’info > https://yonnelautre.fr/spip.php?breve103

http://yonnelautre.fr/local/cache-vignettes/L160xH109/arton1769-a3646.jpg?1510324931

— -